Как называется третья степень числа
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).
Степень числа: определения, обозначение, примеры
В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).
Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.
Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.
Что такое степени с целым показателем
В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.
Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: 
.
При этом n – любое целое положительное число.
Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:
Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0
При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.
Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).
Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:
В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:
Что такое степени с рациональным показателем
Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.
Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.
Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.
Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как
При отрицательном отношении m n 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.
Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
Объединим все данные выше определения в одной записи:
Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.
Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.
При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:
Что такое степени с иррациональным и действительным показателем
Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.
и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).
Числа. Степень числа.
То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».
Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.
В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается так
Возвести число a в степень n – значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а
Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1
Если возвести число «а» возвести в первую степень, то получим само число a: a 1 = a
Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа, третью – кубом этого числа.
-при нахождении степени положительного числа получается положительное число.
-при вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.
— при вычислении степени отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Если решить несколько примеров на вычисление степени отрицательных чисел, то получится, что если мы вычисляем нечётную степень отрицательного числа, то в результате будет число со знаком минус. Так как при умножении нечётного количество отрицательных сомножителей получаем отрицательное значение.
Если же мы рассчитываем четную степень для отрицательного числа, то в результате будет положительное число. Так как при умножении чётного количества отрицательных сомножителей получаем положительное значение.
Свойства степени с натуральным показателем.
Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем:
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем:
При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.
например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6
Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель
При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби
Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.
При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.
Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.
Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа
На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.
Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».
Научимся вычислять квадрат и куб числа.
Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.
Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.
Степень числа
Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.
Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4
В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.
В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.
Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.
В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:
а— любое натуральное число.
Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».
Число а называют основанием (число, возводимое в степень).
n— это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).
Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.
Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.
Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 5
Читают данную запись следующим образом:
4 5 — четыре в пятой степени.
Данная степень равна произведению трех двоек.
2— основание степени.
3— показатель степени.
Данная степень равна произведению четырех пятерок.
5— основание степени.
4— показатель степени.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Квадрат и куб числа
Вторую степень числа называют квадратом числа.
Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а 2 (говорят и читают «а в квадрате»).
2 2 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».
10 2 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».
27 2 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».
Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в квадрате равняется одному: 1 2 = 1 ∙ 1 = 1.
Два в квадрате равняется четырем: 2 2 = 2 ∙ 2 = 4.
Три в квадрате равняется девяти: 3 2 = 3 ∙ 3 = 9.
Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16.
Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5 2 = 5 ∙ 5 = 25.
Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6 2 = 6 ∙ 6 = 36.
Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7 2 = 7 ∙ 7 = 49.
Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8 2 = 8 ∙ 8 = 64.
Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9 2 = 9 ∙ 9 = 81.
Десять в квадрате равняется сотне: 10 2 = 10 ∙ 10 = 100.
Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел
Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.
Решим уравнение х 2 = 49.
Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).
Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.
х 2 = 49
х = 7
Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х 2 = 49, получим:
7 2 = 49
7 ∙ 7 = 49
49 = 49
Ответ: х = 7.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.
Разберем пример первый.
Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 10 4 ).
10— это основание.
4— это показатель степени.
Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
10 4 = 1 0000
На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:
10 4 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 0000
Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 10 3 ).
10— это основание.
3— это показатель степени.
Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
10 3 = 1 000
Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:
10 3 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 000
Рассмотрим обратную ситуацию:
Представим число 100 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 00 ).
Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
1 00 = 10 2
10— это основание.
2— это показатель степени.
Рассмотрим еще один подобный пример.
Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 0000 ).
Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
1 0000 = 10 4
10— это основание.
4— это показатель степени
Третья степень числа тоже имеет свое название.
Число в третьей степени называют кубом числа.
Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а 3 (говорят и читают «а в кубе»).
2 3 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».
10 3 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».
27 3 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».
Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в кубе: 1 3 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.
Два в кубе: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Три в кубе: 3 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.
Четыре в кубе: 4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.
Пять в кубе: 5 3 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.
Шесть в кубе: 6 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.
Семь в кубе: 7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.
Восемь в кубе: 8 3 = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.
Девять в кубе: 9 3 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.
Десять в кубе: 10 3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.
Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
Таблица кубов первых десяти натуральных чисел
1000
С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.
Представим в виде куба число 343.
По таблице кубов видим, что 343 = 7 3
Проверим: найдем произведение трех семерок:
7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343
На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.
Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.
Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.
Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.
За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.
Рассмотрим поясняющие примеры.
При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.
Пример 1.
Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).
1) 8 2 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).
2) 64 ÷ 4 = 16
Пример 2.
Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.
Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.
Найдем разность 21 и 11.
Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.
Найдем, чему равно 10 2 по определению степени или по таблице квадратов.
2) 10 2 = 10 ∙ 10 = 100
Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.
Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.
3) 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
4) 100 ∙ 8 = 800
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.
Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.
Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.
Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)
Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.
Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.
Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.
В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.
В Древней Индии успешно развивалась наука.
Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.
Индийские ученые часто оперировали большими числами.
В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.
Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.
Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.
Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.
В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.
В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».
Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.
Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.
Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.
Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.
Современное обозначение степеней (а n ), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации