Как называется график функции тангенса
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. 
;
2. 
Ответ: 
Объяснение нового материала
Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:
рис.1 Тригонометрический круг
Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.
рис.2 График y=tgx на промежутке 
Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:
Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:
1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида 
3. Функция нечётная, т.к. 
. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;
4. Функция возрастает на всём интервале;
5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. 
7. Функция 
принимает:
Для построения графика 
можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика 
, однако 
(формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на 
единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем:
Основные свойства y=сtgx:
1. Область определения функции y = сtgx все действительные числа, кроме чисел вида 
2. Функция периодическая с периодом 
;
3. Функция нечётная. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;
4. Функция убывает на всём интервале;
5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. 
.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Найдем все корни уравнения 
, принадлежащие отрезку 
.
Построим графики функций 
и 
(рис. 6)
Рис. 4 – графики функций 
и 
.
Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых 
являются корнями уравнения 
. 
Ответ: 
Пример 2. Найти все решения неравенства 
, принадлежащие отрезку 
.
рис.5 графики функций 
и 
Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых 
являются корнями уравнения 
. 
Ответ: 
Объяснение и обоснование
Этот результат можно получить и геометрически. Значения тангенса – это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис.91). Поскольку точки Aи B единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса дляx, kZ.
Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все
Значенияx входят в область определения функции y=tgx.
Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих т
очек на линии тангенсов принимают
все значения до +, поскольку для любого действительного числа
мы можем указать соответствующую точку на оси ординат, а значит, и соответствующую точку на оси тангенсов. Учитывая, что точка О лежит
внутри окружности, а точка вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая имеет с окружностью хотя бы одну общую точку
(на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа
найдется аргумент х, такой, что tan x равен данному действительному числу.
то есть R. Это можно записать так: E (=tgx) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tan x не имеет.
Как было показано в § 13, тангенс — нечетная функция:tg(-x)=tg x, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
Поэтому при построении графика
этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной π,
а потом полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси
Ox на расстоянияkT = πk, где k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,
напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение
y = tg 0 = 0, то есть график функции y = tg x проходит через начало координат.
На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x,
при которых tg x, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z.
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точкилинии тангенсов положительна) в І и ІІІ четвертях. Следовательно, tgx > 0 при
а также, учитывая период, при всех
Значения функции тангенс отрицательны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов отрицательна) во ІІ и ІV четвертях. Такимобразом,
Промежутки возрастания и убывания.
Учитывая периодичность функции tgx (период T = π), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной π,
тангенсов увеличивается (то есть tgx2>tgx1). Таким образом, на этом
промежутке функция tgx возрастает. Учитывая периодичность функции
tgx, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график
функции y = tg x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом π),
линии тангенсов. На рисунке 93 показано построение графика функции
y = tg x на промежутке.
Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом π), повторяем вид
графика на каждом промежутке длиной π (то есть параллельно переносим
график вдоль оси Ох на πk, где k — целое число).
Получаем график, приведенный на рисунке 94, который называется тангенсоидой.
14.4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ctg x И ЕЕ ГРАФИК
Объяснение и обоснование
Так как =, то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых sin х ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z. Такимобразом,
D (ctg x): x ≠ πk, k ∈ Z.
Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии
котангенсов (рис. 95).
.png "Как называется график функции тангенса. Смотреть фото Как называется график функции тангенса. Смотреть картинку Как называется график функции тангенса. Картинка про Как называется график функции тангенса. Фото Как называется график функции тангенса")
Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА
и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для x = πk, k ∈ Z. Длядругихзначенийаргументамыможемнайтисоответствующуюточкуна линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения x ≠ πk входят в область определения функции у = ctg х.
Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от –× до +×, поскольку для любого действительного числа мы можем указать соответствующую точку на оси абсцисс, а значит, и соответствующую точку Qх на оси котангенсов. Учитывая, что точка О лежит внутри окружности, а точка Qх — вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая ОQх имеет с окружностью хотя бы одну общую точку (на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа найдется аргумент х, такой, что сtg x равен данному действительному числу. Таким образом, область значений функции y = ctg x — все действительные числа, то есть R.
Это можно записать так: E (ctgx) = R.Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctgxне имеет.
Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом T= : ctg (x+ ) = ctg x, поэтому через промежутки длиной п вид графика функции ctgxповторяется.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oyзначение x= 0. Но ctg0 не существует, значит, график функции y= ctg x не пересекает ось Oy.
На оси Оx значение y= 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых ctgx, то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D(рис. 95), то есть при
Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, таким образом, ctgx x1) абсцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть ctgx2
Тригонометрические функции
1. Начнем с построения графика функции y = sin x.
Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.
Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть
Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто «копируем» этот участок и повторяем его с периодом 2π:
Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.
Перечислим основные свойства функции y = cos x.
Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!
3. Перейдем к графику функции y = tg x.
Осталось только «скопировать» этот участок графика и повторить его с периодом π.
Перечислим свойства функции y = tg x.
5) Функция y = tg x возрастает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:
5) Функция y = сtg x убывает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса
и котангенса и их графики
14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК
График функции y = sin x (синусоида)
Свойства функции y = sin x
Объяснение и обоснование
Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:
1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями
координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее
З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох
(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.
Напомним, что значение синуса — это ордина-
та соответствующей точки единичной окружности 
(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для
любой точки единичной окружности (в силу того,
что через любую точку окружности всегда можно
провести единственную прямую, перпендикуляр-
ную оси ординат), то область определения функции
y = sin x — все действительные числа. Это можно за-
писать так: D (sin x) = R.
Для точек единичной окружности ординаты нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения
от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]
оси ординат (который является диаметром единичной
окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-
нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-
нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].
Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].
Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при 
Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение
достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть
при
поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,
напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение
y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.
На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж
ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-
ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).
функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким
образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех
x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.
Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-
щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно
исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной
2π, например на промежутке 
то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть
sin x 2 > sin x 1 ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,
делаем вывод, что она такж е возрастает на каждом из промежутков 
Если x ∈ 
(рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) ордината соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть sin x 2 1 ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая
периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой
функции (с периодом 2π), д о статочно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, на пример на
промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината
соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на
промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для
построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрич но относительно начала координат
Поскольку мы построили график на
промежутке длиной 2π, то, учитывая 
периодичность синуса (с периодом 2π),
повторяем вид графика на каждом про-
межутке длиной 2π (то есть переносим па-
раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,
где k — целое число).
Получаем график, который называется
З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в ма тематике, физике и технике. Например,
множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,
описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Та кие процессы называют гармоническими
колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль
координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией
времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная
фаза, 
14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК
Объяснение и обоснование
Напомним, что значение косинуса — это абсцис-
са соответствующей точки единичной окружности 
(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-
бой точки единичной окружности (в силу того, что
через любую точку окружности, всегда можно про-
вести единственную прямую, перпендикулярную оси
абсцисс), то область определения функции y = cos x —
все действительные числа. Это можно записать так:
D (cos x) = R.
Для точек единичной окружности абсциссы нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-
ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной
всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следователь но, область значений функции y = cos x:
y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это
зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при
x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.
Как было показано в § 13, косинус — четная функция : cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси
Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким об разом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.
соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только
тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при 
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-
тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех 
Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-
ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,
поэтому cos x 
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать
ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например
на промежутке [0; 2π].
Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) абсцисса соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть cos x 2 1 ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая
периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.
Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) аб-
сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то
есть cos x 2 >cos x 1 ), таким образом, на этом промежутке функция cos x
возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что
она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.
Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x
аналогично тому, как был построен график функ- 
ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно
также получить с помощью геометрических преоб-
разований графика функции у = sin х, используя
Эту формулу можно обосновать, например, так.
Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки 