нельзя провести плоскость через две прямые если они

Нельзя провести плоскость через две прямые если они

ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

8. Предварительное замечание. Две прямые могут быть расположены в пространстве так, что через них нельзя провести плоскость.

Возьмём, например (черт. 4), две такие прямые АВ и DЕ, из которых одна пересекает некоторую плоскость Р, а другая лежит на ней, но не проходит через точку (С) пересечения первой прямой и плоскости Р.

Через такие две прямые нельзя провести плоскость, потому что в противном случае через прямую и точку С проходили бы две различные плоскости: одна Р, пересекающая прямую АВ, и другая, содержащая её, а это невозможно (§ 3).

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, конечно, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали; однако их не называют параллельными, оставляя это название дли таких прямых, которые, находясь в одной плоскости, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Прямая и плоскость, параллельные между собой

9. Определение. Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

10. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 5) параллельна какой-нибудь прямой (СD), расположенной в плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости.

Проведём через АВ и СD плоскость R и предположим, что прямая АВ где-нибудь пересекается с плоскостью Р. Тогда точка пересечения, находясь на прямой АВ, должна принадлежать также и плоскости R, на которой лежит прямая АВ, в то же время точка пересечения, конечно, должна принадлежать и плоскости Р. Значит, точка пересечения, находясь одновременно и на плоскости R и на плоскости Р, должна лежать на прямой СD, по которой пересекаются эти плоскости; следовательно прямая АВ пересекается с прямой СD. Но это невозможно, так как по условию АВ||СD, значит, нельзя допустить, чтобы прямая АВ пересекалась с плоскостью Р, и потому АВ||Р.

11. Теорема. Если плоскость (R, черт. 5) проходит через прямую (АВ), параллельную другой плоскости (Р), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (СD) параллельна первой прямой (АВ).

Действительно, во-первых, прямая СD лежит в одной плоскости с прямой АВ, во-вторых, эта прямая не может пересечься с прямой АВ, потому что в противном случае прямая АВ пересекалась бы с плоскостью Р, что невозможно.

12. Следствие 1. Если прямая (АВ, черт. 6) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей (Р и Q), то она параллельна линии их пересечения (СD).

Проведём плоскость через АВ и какую-нибудь точку М прямой СD. Эта плоскость должна пересечься с плоскостями Р и Q по прямым, параллельным АВ и проходящим через точку М. Но через точку М можно провести только одну прямую, параллельную АВ; значит, две линии пересечения проведённой плоскости с плоскостями Р и Q должны слиться в одну прямую. Эта прямая, находясь одновременно на плоскости Р и на плоскости Q, должна совпадать с прямой СD, по которой плоскости Р и Q, пересекаются; значит, СD || AВ.

13. Следствие 2. Если две прямые (АВ и СD, черт. 7) параллельны третьей прямой
(ЕF), то они параллельны между собой.

Проведём плоскость М через параллельные прямые АВ и ЕF. Так как СD||EF, то
СD||M (§ 10).

Проведём также плоскость N через СD в некоторую точку А прямой AВ.
Так как EF||СD, то EF||N. Значит, плоскость N должна пересечься с плоскостью M по прямой, параллельной EF (§ 11) и в то же время проходящей через точку А. Но в плоскости М через А проходит единственная прямая, параллельная EF, именно прямая АВ. Следовательно, плоскость N пересекается с М по прямой АВ; значит, СD || AВ.

14. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

15. Теорема. Если две пересекающиеся прямые (АВ и АС, черт. 8) одной плоскости
(Р) соответственно параллельны двум прямым (А₁В₁ и А₁С₁) другой плоскости (Q), то эти плоскости параллельны.

Прямые АВ и АС параллельны плоскости Q (§10).

Допустим, что плоскости Р и Q пересекаются по некоторой прямой DE (черт. 8). В таком случае AB||DE и AC||DE (§11). Таким образом, в плоскости Р через точку А проходят две прямые АВ и АС, параллельные прямой DE, что невозможно. Значит, плоскости Р и Q не пересекаются.

16. Теорема. Если две параллельные плоскостu (Р и Q черт. 9) пересекаются третьей плоскостью (R), то линии пересечения (АВ и СD) параллельны.

Действительно, во-первых, прямые АВ и СD находятся в одной плоскости (R); во-вторых, они не могут пересечься, так как в противном cлучае пересекались бы плоскости Р и Q, что противоречит условию.

17. Теорема. Отрезкu параллельных прямых (АС и ВD черт. 9), заключённые между параллельными плоскостями (Р и Q), равны.

Через параллельные прямые АС и ВD проведём плоскость R; она пересечёт плоскости Р и Q по параллельным прямым АВ и СD следовательно, фигура АВDС есть параллелограмм, и потому АС||ВD.

18. Теорема. Два угла (ВАС и В₁А₁С₁, черт. 10) с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях (Р и Q).

Что плоскости Р и Q параллельны, было доказано выше (§ 15); остаётся доказать, что углы А и А₁ равны.

Отложим на сторонах углов произвольные, но равные отрезки АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁ и проведём прямые АА₁, ВВ₁, СС₁, ВС и В₁C₁.

Так как отрезки АВ и А₁В₁ равны и параллельны, то фигура АВВ₁А₁ есть параллелограмм; поэтому отрезки АА₁ и ВВ₁ равны и параллельны. По той же причине равны и параллельны отрезки АА₁ и СС₁, следовательно, ВВ₁||СС₁ и ВВ₁= СС₁.
Поэтому ВС = В₁С₁ и /\ АВС = /\ А₁В₁С₁ (по трём сторонам); значит, / А = / А₁

Задачи на построение

19. Через точку (А, черт. 11), расположенную вне данной прямoй (а), в пространстве провести прямую, параллельную данной прямой (а).

Решение. Через прямую а и точку А проводим плоскость М. В этой плоскости строим прямую b, параллельную прямой а.

Задача имеет единственное решение. В самом деле, искомая прямая должна лежать с прямой а в одной плрскости. В этой же плоскости должна находиться точка А, через которую проходит искомая прямая. Значит, эта плоскость должна совпадать с M. Но в плоскости М через точку А можно провести только одну прямую, параллельную прямой а.

20. Через данную точку (А, черт. 12) провести плоскость, параллельную данной плоскости (Р), не проходящей через точку А.

Решение. Проводим на плоскости Р через какую-либо точку В две какие-либо прямые ВС и ВD. Построим две вспомогательные плоскости: плоскость М—через точку А и прямую ВС и плоскость N—через точку А и прямую ВD. Искомая плоскость, параллельная плоскости Р, должна пересечь плоскость М по прямой, параллельной BС, a плоскость N — по прямой, параллельной ВD (§ 16).

Отсюда вытекает такое построение:
через точку А проводим в плоскости М прямую АС₁ ||ВС, а в плоскости N прямую
АD₁ ||ВD.

Через прямые АС₁ и АD₁ проводим плоскость Q. Она и будет искомой. В самом деле, стороны угла D₁АС₁ расположенного в плоскости Q параллельны сторонам угла DВС, расположенного в плоскости P. Следовательно, Q|| Р.

Так как в плоскости М через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную ВС, а в плоскости N через точку А лишь одну прямую, параллельную BD, то задача имеет единственное решение. Следовательно, через каждую точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости.

21. Через данную прямую (а, черт. 13) провести плоскость, параллельную другой данной прямой (b).

Через какую нибудь точку А прямой а проводим прямую b₁, параллельную b ; через прямые а и b₁ проводим плоскость. Она и будет искомой (§10). Задача имеет в этом случае единственное решение.

2-й случай. Прямые а и b параллельны. В этом случае задача неопределенна: всякая плоскость, проходящая через прямую а, будет параллельна прямой b.

22. Пример более сложной задачи иа построение. Даны две скрещивающиеся прямые (а и b, черт. 14) и точка А, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые (а и b).

Источник

Тест по геометрии

тест по теме: «Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости»

Сегодня в математике при оценивании результатов по геометрии в школе часто применяют тестирование. Применяя тестирование в преподавании, предоставляется возможность глубоко оценить уровень усвоения материала по данной теме. Тест состоит из 2 уровней: с выбором ответа и решение задач.

Содержимое разработки

тест по теме: «Взаимное расположение прямых
в пространстве. Параллельность прямых,
прямой и плоскости»

1. Точки A, B, С и D не лежат в одной плоскости. Тогда прямые AB и CD…

2. Какое утверждение о прямых верное?

1)

2)

3)

3. Для доказательства параллельности двух прямых достаточно утверждать, что они…

2) перпендикулярны некоторой прямой;

3) не пересекаются и лежат в одной плоскости.

4. Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

5. Точка F не лежит в плоскости параллелограмма ABCD, M – середина DF, N – середина BF. Тогда прямые AM и CN…

6. Прямая а параллельна плоскости . Тогда неверно, что…

1) прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости ;

2) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости ;

3) существует прямая, лежащая в плоскости , параллельная прямой а.

7. Какое утверждение неверное?

1) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2) Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения.

3) Прямые параллельные одной плоскости параллельны

8. Средняя линия MN трапеции ABCD лежит в плоскости . Вершина А не принадлежит данной плоскости. Тогда прямая BC…

1) лежит в плоскости ;

2) пересекает плоскость ;

3) параллельна плоскости .

9. Точка M не лежит на прямой а. Тогда неверно, что через точку M можно провести…

1) только одну прямую, не пересекающую прямую а;

2) только одну прямую, параллельную прямой а;

3) бесконечно много прямых, не пересекающих прямую а.

1. Дан треугольник MKP. Плоскость, параллельная прямой MK пересекает MP в точке M₁, PK – в точке K₁. MK = 18 см, MP : M₁P = 12 : 5. Тогда длина отрезка M₁K₁ равна…

2. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А₁, В₁ и С₁ соответственно. АА₁ = 6 см, СС₁ = 9 см. Тогда длина отрезка ВВ₁ равна…

3. Плоскость, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD в точках M и N соответственно. CN = ND. AD = 6 см, ВС = 4 см. Тогда длина отрезка MN равна…

4. M, H, P – середины соответственно сторон AD, DC, AB. KH || (ABD). AC = 8 см, BD = 10 см. Периметр четырёхугольника MHKP равен…

тест по теме: «Взаимное расположение прямых
в пространстве. Параллельность прямых,
прямой и плоскости»

2. Нельзя провести плоскости через две прямые, если они…

3. Какое утверждение о прямых неверное?

1)

2)

3)

4. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, K – середина DC. Тогда прямые AD и BK…

5. Какое утверждение верное?

1) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

2) Две прямые, параллельные третье прямой, параллельны.

3) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельные.

Тогда прямые AB и CD…

7. Какое утверждение верное?

1) Если она из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая параллельна данной плоскости.

3) Если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны.

8. Точки M и N соответственно середины сторон AB и BC треугольника АВС. Прямая MN лежит в плоскости . Точка В не принадлежит данной плоскости. Тогда прямая АС…

1) лежит в плоскости ;

2) пересекает плоскость ;

3) параллельна плоскости .

9. Какое утверждение неверное?

1) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

2) Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3) Если прямая параллельна плоскости, то она не пересекает ни одну прямую, лежащую в этой плоскости.

1. Дан треугольник ВСЕ. Плоскость, параллельная СЕ, пересекает ВЕ в точке Е₁, ВС – в точке С₁. ВС = 28 см, С₁Е₁ : СЕ = 3 : 8. Тогда длина отрезка ВС₁ равна…

2. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А₁, В₁ и С₁ соответственно.

Тогда длина отрезка ВВ₁ равна…

3. Плоскость, параллельная основаниям AD и ВС трапеции ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках M и N соответственно. AM = MB. AD = 10 см, ВС = 6 см. Тогда длина отрезка MN равна…

4. M, H, K – середины соответственно сторон AD, DC, CB.

AC = 10 см, BD = 8 см. Периметр четырёхугольника MHKP равен…

Источник

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.

, так как

Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

= =

Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.

Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.

.

Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.

Так как , то .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник