когда можно вписать окружность в четырехугольник когда описать вокруг четырехугольника
Вписанная в четырехугольник окружность
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен
Описанные четырехугольники
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следовательно, справедливы равенства
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
| Фигура | Рисунок | Утверждение |
| Ромб |  | В любой ромб можно вписать окружность |
| Квадрат |  | В любой квадрат можно вписать окружность |
| Прямоугольник |  | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом |
| Параллелограмм |  | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом |
| Дельтоид |  | В любой дельтоид можно вписать окружность |
| Трапеция |  | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)
Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:
Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?
Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?
Сейчас мы это выясним!
Вписанный четырехугольник — коротко о главном
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.
Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Вписанный четырехугольник — определения и теоремы
Вот оказывается, что это неправда!
НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.
Есть очень важное условие:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \)
Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?
Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?
Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся.
Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \).
То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Так что запомни крепко-накрепко:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.
Доказательство смотри чуть дальше.
А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?
Вписанный параллелограмм
Попробуем сперва «методом научного тыка»:
Вот как-то не получается. Теперь применим знание:
Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).
У нас получилось, что
\( \displaystyle \left\< \begin
А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?
Ну, то же самое конечно.
\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \)
\( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \)
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Теорема 1 доказана.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
| Фигура | Рисунок | Свойство | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около параллелограмма |  | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около ромба |  | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около трапеции |  | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около дельтоида |  | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Произвольный вписанный четырёхугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около параллелограмма | ||
| Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | ||
| Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | ||
| Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | ||
| Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
| ||
| Окружность, описанная около ромба | ||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||
| Окружность, описанная около трапеции | ||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||
| Окружность, описанная около дельтоида | ||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||
| Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
Теорема Птолемея
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
откуда вытекает равенство:
Когда можно вписать окружность в четырехугольник когда описать вокруг четырехугольника
ТреугольникиТреугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным (равносторонним) треугольником. Пусть a, h, S, R, r — соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения: Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы, биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами этого треугольника. Обозначим через c гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC, через ac и bc — проекции катетов a и b на гипотенузу AB, а через hc — высоту, проведенную из вершины прямого угла C этого треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:
Тригонометрические функции дополнительных углов Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными:
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны:
Средняя линия треугольника Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними :
МногоугольникиПараллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Справедливы следующие утверждения. — Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм. — Противоположные стороны четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм. — Противоположные углы четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм. — Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, прямоугольник обладает следующим характеристическим свойством. Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Так как ромб, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, ромб обладает следующими характеристическими свойствами. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб. Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или даже пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма — параллелограмма Вариньона. Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Если исходный параллелограмм — прямоугольник, то параллелограмм Вариньона — ромб. Если исходный параллелограмм — ромб, то параллелограмм Вариньона — прямоугольник. Если исходный параллелограмм — квадрат, то параллелограмм Вариньона — квадрат. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией. Трапеция, один из углов которой прямой, равен называется прямоугольной трапецией. Трапеция обладает следующими свойствами. — Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме. — Отрезок, соединяющие середины диагоналей трапеции, равен полуразности большего и меньшего оснований. — Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равно-бедренная. — Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная. — Сумма противолежащих углов в равнобедренной трапеции равна 180°. — В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, равно средней линии. Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами. — Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности. — Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам. — Меньшая диагональ правильного шестиугольника в — Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. — Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне. — Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°. Теоремы о площадях многоугольников Для вычисления площадей многоугольников применяют следующие теоремы. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне или к ее продолжению. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Площадь многоугольника, вершины которого лежат в узлах решетки, равна Окружность,круг и их элементыУгол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов). Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется ее хордой. Равные хорды стягивают равные дуги. Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо в сумме дают 180°. Хорда, равная диаметру, из всех точек окружности видна под углом 90°. Радиус окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Угол между двумя хордами равен полусумме высекаемых ими дуг:
Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки пересечения хорд до центра окружности:
Касательная к окружности Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности. Справедливы следующие утверждения. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги. Угол между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:
Пусть через данную точку, лежащую вне окружности, проведены секущая и касательная к этой окружности. Тогда произведение расстояний от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью равно квадрату отрезка касательной с концами в данной точке и в точке касания: Угол между секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:
Если через некоторую точку, лежащую вне окружности, проведена секущая этой окружности, то произведение расстояний от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью есть величина постоянная, равная разности квадрата расстояния от центра окружности до данной точки и квадрата радиуса этой окружности:
Круг и его элементы Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Центр, радиус и диаметр окружности, ограничивающей круг, называются также центром, радиусом и диаметром круга. Любые два радиуса делят круг на две части, каждая из которых называется круговым сектором или просто сектором. Дуга, ограничивающая сектор, называется дугой сектора. Любая хорда делит круг на две части, каждая из которых называется круговым сегментом или просто сегментом. Соотношения между элементами окружности и круга Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга,
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности. Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка, равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, — точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. В многоугольник можно вписать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. В любой треугольник можно вписать окружность. В правильный многоугольник можно вписать окружность. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Если окружность радиуса r вписана в многоугольник, площадь которого равна S, а полупериметр равен p, то имеет место соотношение Если окружность вписана в правильный треугольник, то ее радиус r выражается через его сторону a по формуле Если окружность радиуса r вписана в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, то Если окружность вписана в квадрат, то ее радиус равен половине стороны квадрата. Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность. Центр окружности, описанной вокруг многоугольника, есть точка, равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Около многоугольника можно описать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке. Около любого треугольника можно описать окружность. Радиус описанной окружности равен отношению половины стороны к синусу противолежащего угла: Около правильного многоугольника можно описать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.
| ||
раз больше его стороны.
где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.
— длина дуги в n градусов, 
— длина дуги в 
радиан, 
— площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов, 
— площадь сектора, ограниченного дугой в 
площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
