каким образом предикат можно превратить в высказывание

Множества истинности и множества ложности предиката дополняют друг друга до области определения предиката.

Пример 1. На множестве R задано предложение Х 2 – 1 = 0. Является ли оно предикатом? Какова область определения? Множество истинности?

1) Х 2 – 1 = 0 – это предложение с переменной.

2) при Х = 1, 1 2 – 1 = 0 – это предложение обращается в

это одноместный предикат: А(х): Х 2 – 1 = 0

Т_А =

Видим, что все отношения выполняются: .

1) – это предложение с переменной, но оно является истинным высказыванием, а не предикатом.

Пример 3: С(х,у): x + y = 7,

1) предложение с двумя переменными х и y

2) обращается в высказывание, например, при x = 3 y = 5

С(3,5): 3 + 5 = 7 – высказывание (не важно сейчас какое).

D_c – это множество пар действительных чисел:

D_с =

, т.е. множество таких пар действительных чисел, для которых верно: x + y = 7.

Если подставлять значение только одной переменной, то предикат станет одноместным предикатом.

Пусть x = 10 тогда — это одноместный предикат.

Предикат можно обратить в высказывание двумя способами:

1 способ: путём подстановки в предикат конкретного значения переменной (переменных)

и пусть , где тогда — высказывание.

2 способ: путём навешивания кванторов.

Кванторы бывают двух видов:

1) квантор всеобщности, который выражается словами: любой, каждый, всякий, все, и обозначается: .

2) квантор существования: выражается словами: найдётся, существует, и обозначается .

Пусть на множестве Х задан одноместный предикат А(х). Предложение: для любого Х из множества Х выполняется А(х) –это высказывание, которое ложно, если найдется хотя бы одно значение переменной x Х, при котором А(х) обращается в ложное высказывание. Если таких значений переменной нет, то это предложение – истинное высказывание. Запишем это высказывание так: .

Предложение: существуют элементы xХтакие, что выполняется А(х) – высказывание, которое истинно, если существует хотя одно бы одно значение переменной из множества Х, при котором А(х) – истинное высказывание. Если таких значений нет, то это предложение ложное высказывание.

Запишем это высказывание так: .

Пусть — одноместный предикат. Навесим на него кванторы:

1) — высказывание. Определим его значение истинности.

2) — высказывание. Определим его значение истинности.

— истинное высказывание.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Высказывания и предикаты. Кванторы

п.1. Высказывания

Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.

Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.

п.2. Предикаты

Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P(«слон» )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P(«стол» )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0

Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm>\)

Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.

п.3. Кванторы

«для любого…», «для всех…», «любой…»

Единственности и существования

«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»

Существуют натуральные числа, которые делятся на 13

Существуют треугольники, у которых все углы равны

Например, равносторонний треугольник со стороной 1

Любое натуральное число делится на 5

Например x = 6 на 5 не делится

У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°

Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.

Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm>\), оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm=2\sqrt<2>>\)
Ответ: квантор существования ∃.

Источник

Высказывания и предикаты

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов (объектов – участников этой операции ).

Пример. Рассмотрим словосочетания:

Высказывание должно быть однозначно истинным или однозначно ложным, поэтому высказываниями являются только утверждения 1), 4), 6).

Истинным будет, например, сложное высказывание : «Зима – холодное время года и зимой носят пальто», а ложным будет, например, высказывание : «Некоторые ходят в пальто, поэтому на улице зима». Придумайте другие примеры.

Предикат – высказывательная форма с логическими переменными (множество значений этих переменных вполне определено), имеющая смысл при любых допустимых значениях этих переменных. Количество переменных в записи предиката называется его местностью.

Простые высказывания или предикаты не зависят от других высказываний или предикатов («не разбиваемы на более простые»), а сложные – зависят хотя бы от двух простых.

Логической (булевой) функцией f(х) называется некоторая функциональная зависимость, в которой аргумент х – логическая переменная с заданным множеством изменений аргумента, а значения функции f(x) берутся из двухэлементного множества R(f) = <1,0>.

Аксиома двойного отрицания:

Аксиомы переместительности операндов (относительно операций дизъюнкции и конъюнкции ):

Аксиомы переместительности операций дизъюнкции и конъюнкции (относительно операндов):

Аксиомы одинаковых операндов:

Аксиомы поглощения (множителем — множителя-суммы или слагаемым — слагаемого-произведения):

Аксиомы распределения операции ( дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот):

Аксиомы де Моргана (перенесения бинарной операции на операнды):

Аксиомы нейтральности (взаимноинверсных множителей или слагаемых):

Из этих аксиом следует ряд полезных соотношений, например,

Источник

Способы получения высказываний из предикатов