какие матрицы можно привести к жордановой форме

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Жорданова нормальная форма

Жорданова нормальная форма над полем комплексных чисел

Общая схема

Аннулирующий полином

Теорема 5. Минимальный аннулирующий полином оператора является делителем его характеристического полинома. Два минимальных аннулирующих полинома оператора различаются, разве лишь, постоянным множителем.

Следствиями теорем 4 и 5 является следующий результат.

Корневое подпространство

Рассмотрим теперь пример, разобранный в ☞ ПУНКТЕ.

Пример 3. Найти корневые векторы матрицы

Доказательство. Следствие теоремы 2. ♦

Алгоритм построения базиса корневого подпространства

Для визуализации последующего алгоритма построения канонического базиса удобно представить результаты этого этапа в виде схемы:

Мы наблюдаем разноэтажное здание, число квартир на каждом этаже которого не превосходит числа квартир на предыдущем. В ходе дальнейшего алгоритма, часть «жильцов» останется на месте, а часть может быть замещена другими.

4. Продолжаем процесс…

Структура соответствующего канонического базиса

В каноническом базисе корневые векторы, соответствующие указанной последовательности клеток, следует упорядочить по следующему правилу:

Объяснение необходимости перестановки векторов канонического базиса — почему они нумеруются по правилу «сверху вниз», а не поэтажно — дается в следующем ПУНКТЕ.

Пример 3 (окончание). Построить ЖНФ и канонический базис пространства для оператора из примера 3.

Циклическое подпространство

Построить ЖНФ и канонический базис для оператора из примера 2.

Жорданова нормальная форма над полем вещественных чисел

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Обзор

Обозначение

В некоторых учебниках есть поддиагональ ; то есть непосредственно под главной диагональю, а не на наддиагонали. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали.

Мотивация

Комплексные матрицы

где каждый блок J _i представляет собой квадратную матрицу вида

Предполагая этот результат, мы можем вывести следующие свойства:

Пример

Пример: получение нормальной формы

В этом примере показано, как вычислить нормальную форму Жордана данной матрицы.

о котором упоминается в начале статьи.

Вычисление показывает, что уравнение P −1 AP = J действительно выполняется.

Обобщенные собственные векторы

Доказательство

В противном случае, если

Уникальность

Можно показать, что жорданова нормальная форма данной матрицы A единственна с точностью до порядка жордановых клеток.

равно удвоенному количеству жордановых блоков размера k ₁ плюс количество жордановых блоков размера k ₁ −1. Общий случай аналогичен.

Реальные матрицы

и описать умножение на в комплексной плоскости. Наддиагональные блоки представляют собой единичные матрицы 2 × 2 и, следовательно, в этом представлении размерности матрицы больше, чем у комплексной жордановой формы. Полный реальный блок Джордана дается формулой λ я <\ displaystyle \ lambda _ >

Эта вещественная жорданова форма является следствием комплексной жордановой формы. Для действительной матрицы невещественные собственные векторы и обобщенные собственные векторы всегда можно выбрать для образования комплексно сопряженных пар. Взяв действительную и мнимую части (линейную комбинацию вектора и сопряженного с ним), матрица имеет такой вид относительно нового базиса.

Матрицы с записями в поле

Последствия

Можно видеть, что нормальная форма Жордана является, по сути, результатом классификации квадратных матриц, и поэтому несколько важных результатов линейной алгебры можно рассматривать как ее следствия.

Теорема о спектральном отображении

Характеристический полином

Теорема Кэли – Гамильтона

Минимальный многочлен

Инвариантные разложения подпространств

Можно также получить несколько иное разложение с помощью жордановой формы. Для заданного собственного значения λ _i размер его наибольшего соответствующего жорданова блока s _i называется индексом λ _i и обозначается ν (λ _i ). (Следовательно, степень минимального многочлена равна сумме всех индексов.) Определим подпространство Y _{i следующим} образом:

Это дает разложение

Здесь может быть интересно отметить некоторые свойства индекса ν ( λ ). В более общем смысле, для комплексного числа λ его индекс может быть определен как наименьшее неотрицательное целое число ν (λ) такое, что

Плоская (плоская) нормальная форма

Жорданова форма используется для нахождения нормальной формы матриц с точностью до сопряжения, такой что нормальные матрицы составляют алгебраическое многообразие низкой фиксированной степени в пространстве объемлющих матриц.

Множества представителей классов матричной сопряженности для жордановой нормальной формы или рациональных канонических форм в общем случае не составляют линейных или аффинных подпространств в объемных матричных пространствах.

Для алгебраически замкнутых полей она была решена Петерисом Даугулисом. Построение однозначно определенной плоской нормальной формы матрицы начинается с рассмотрения ее жордановой нормальной формы.

Матричные функции

Итерация цепочки Джордана мотивирует различные расширения к более абстрактным параметрам. Для конечных матриц получаются матричные функции; это может быть распространено на компактные операторы и голоморфное функциональное исчисление, как описано ниже.

В следующем примере показано приложение к степенной функции f ( z ) = z n :

Компактные операторы

Голоморфное функциональное исчисление

Нам потребуются следующие свойства этого функционального исчисления:

Конечномерный случай

Теорема о спектральном отображении говорит нам

имеет спектр <0>. По свойству 1 f ( T ) может быть непосредственно вычислено в жордановой форме, и, проверив, мы видим, что оператор f ( T ) e _i ( T ) является нулевой матрицей.

Поляки оператора

Точка λ называется полюсом оператора T порядка ν, если резольвентная функция R _T, определенная равенством

имеет полюс порядка ν в точке λ.

Мы покажем, что в конечномерном случае порядок собственного значения совпадает с его индексом. Результат верен и для компактных операторов.

Согласно предыдущему обсуждению функционального исчисления,

Но мы показали, что наименьшее натуральное число m такое, что

в точности индекс λ, ν (λ). Другими словами, функция R _T имеет полюс порядка ν (λ) в точке λ.

Числовой анализ

Если матрица A имеет несколько собственных значений или близка к матрице с несколькими собственными значениями, то ее жорданова нормальная форма очень чувствительна к возмущениям. Рассмотрим, например, матрицу

Если ε = 0, то нормальная форма Жордана просто

Однако при ε ≠ 0 жорданова нормальная форма имеет вид

Источник

Нормальная жорданова форма

Пусть А – линейный оператор, действующий в комплексном векторном пространстве V. Если в V существует базис <e_k> из собственных векторов оператора А, то в этом базисе матрица оператора А имеет диагональный вид , где λ – соответствующие собственные значения оператора А.

Так будет, например, в том случае, когда характеристичное уравнение оператора А: det(A – lЕ) = 0 имеет n попарно различных корней.

Поэтому возникает вопрос, о каком-то другом, достаточно простом виде, к которому можно привести матрицу всякого линейного оператора.

В комплексном пространстве таким «простейшим», каноническим видом принято считать так называемую жорданову форму матрицы.

Def: Жордановой клеткой G_k(λ) называется квадратная матрица k-го порядка вида:

.

Порядок жордановой клетки может быть любым. В частности, если k = 1, то клетка имеет простейший вид : (λ)

Def: Жордановой матрицей называется матрица вида: . Здесь G_k(λ) – жордановы клетки.

В частности, если оператор А имеет матрицу , то нормальная жорданова форма матрицы оператора состоит из двух жордановых клеток. Нетрудно заметить, что a и β – соответственные значения оператора А. И, кроме того:

Тº. Произвольный линейный оператор А в комплексном пространстве V имеет базис

, в котором матрица оператора А имеет жорданову форму.

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим. Построение базиса и приведение матрицы оператора к жордановой форме продемонстрируем на примерах.

Источник

Нормальная (жорданова) форма матриц

Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

в матричной записи:

в матричной записи:

Подставляя это выражение для x в (2), получим:

где матрица I связана с матрицей А равенством:

Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица

имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:

Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.

Полезное

Смотреть что такое «Нормальная (жорданова) форма матриц» в других словарях:

Нормальная форма матриц — (жорданова) С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана… … Большая советская энциклопедия

ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия

Перемножение матриц — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Произведение матриц — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Разница матриц — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Спектральный анализ — I Спектральный анализ физический метод качественного и количественного определения атомного и молекулярного состава вещества, основанный на исследовании его спектров. Физическая основа С. а. Спектроскопия атомов и молекул, его… … Большая советская энциклопедия

Подобные матрицы — квадратные матрицы (См. Матрица) А и В порядка n, связанные соотношением В = Р 1АР, где Р какая либо неособенная (т. е. имеющая обратную) матрица того же порядка. При задании матрицей линейного преобразования (См. Линейное преобразование) … Большая советская энциклопедия

Источник

10.2. Жорданова нормальная форма

Определение 10.5. Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу ₀, называется матрица порядка k, 1 ≤ k ≤ n, имеющая вид

,

на ее главной диагонали стоит одно и то же число ₀, а на параллельной ей сверху диагонали стоят единицы, все же остальные элементы равны нулю. Например: (₀), , – жордановы клетки первого, второго и третьего порядков соответственно.

Определение 10.6. Жордановой матрицей порядка n называется матрица порядка n, имеющая вид: J = . В ней вдоль главной диагонали идут жордановы клетки J₁, J₂, …, J_s некоторых порядков, не обязательно различных, и относящиеся к некоторым числам, тоже не обязательно различным. Все места вне этих клеток заняты нулями. При этом s ≥ 1, то есть одна жорданова клетка порядка n так же считается жордановой матрицей и s ≤ n.

Замечание. Говорят, что матрица J имеет нормальную жорданову форму. Диагональная матрица является частным случаем жордановой матрицы, у нее все клетки имеют порядок 1.

10.3.Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме

Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали.

Приведем матрицу A(λ) = A – λE к каноническому виду с помощью элементарных преобразований.

A – λE = .

Отличные от единицы многочлены e_n–j+1(λ), …, e_n–1(λ), e_n(λ) называют инвариантными множителями матрицы A(λ). Среди них нет многочленов равных нулю, сумма степеней всех этих многочленов равна n, и все они раскладываются на линейные множители над множеством комплексных чисел. Пусть e_n–j+1(λ) раскладывается в произведение следующих множителей: , , …, . Назовем эти множители элементарными делителями многочлена e_n–j+1(λ).

Выпишем жорданову матрицу J порядка n, составленную из жордановых клеток определяемых следующим образом: каждому элементарному делителю матрицы A(λ) ставим в соответствие жорданову клетку порядка k_ij, относящуюся к числу _i.

Пусть для некоторой матрицы порядка 9 характеристическая матрица A – λE приведена к каноническому виду.

A – λE = .

Алгоритм приведения матрицы a к жордановой форме

Составить характеристическую матрицу A – λE.

Привести эту матрицу к канонической форме с помощью элементарных преобразований.

Разложить диагональные многочлены на линейные множители.

Найти элементарные делители и по ним выписать жорданову форму матрицы A.

Для того чтобы заданная матрица была подобна диагональной матрице, необходимо и достаточно, чтобы все элементарные делители ее характеристической матрицы были первой степени.

Пример 10.4. Привести к жордановой форме матрицу A = .

По найденным элементарным делителям выписываем жорданову форму исходной матрицы .

Источник