почему ромб нельзя вписать в окружность

Описанная окружность

Теорема

Доказательство

Дано: произвольный АВС.

Доказать: около АВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Верно и обратное утверждение:

Доказательство

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD).

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]

с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

\[ S = \frac<1><2>(a+b+c+d)\cdot r = pr \]

Примеры вписанной окружности

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Источник

Почему вокруг ромба нельзя описать окружность?

Вокруг ромба можно описать окружность.

Но только с одним условием: если все углы ромба по девяносто градусов.

В остальных случаях получится овал, а не окружность, потому что ромб имеет «вытянутую» форму.

А значит, все вершины фигуры должны находиться на равном расстоянии от центра симметрии. Что в общем случае (за исключением квадрата как частного случая ромба) не наблюдается.

Почему нельзя? Что за бред.

Всю описанную ерунду приведу кратко. Картинкой. Профессорам математики будет полезно ознакомится.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только в том случае, если сумма противоположных углов равна 180 градусов. Поэтому вокруг квадрата, который является частным случаем ромба можно описать окружность, а вот вокруг ромба, не являющегося квадратом окружность описать нельзя потому что сумма противоположных улов отлична от 180 градусов.

Задача не очень сложная, главное в ней, догадаться, с какого угла начать деление. Я перепробовал все углы, угол в 15 градусов отпал. Угол 60 можно делить по разному, но и тут у меня ничего не получилось. Поэтому пришлось разделить угол в 105 градусов и ее первоначально можно разделить единственным образом: на 60 и 45 градусов. Решение представлено на рисунке

Треугольник АВС исходный, где А=15, В=105 и С=60. Первая линия ВМ делит угол В на два угла: СВМ = 60 и АВМ=45. Вторая линия ВК делит угол АВМ на два угла: АВК = 15 и КВМ = 30. Понятно, что все три треугольника: АВК, КВМ, ВСМ равнобедренные, просто треугольник ВСМ получился еще и равносторонним.

Посмотри на вот этом сайте! http://mymath213.blo­ gspot.ru/p/10.html

Аналогичным способом строим треугольники ВВ₁А и СС₁В, соответственно поворотом исходного треугольника на 60⁰ вокруг точек А и В. Получаем оранжевый и красный правильные треугольники со сторонами 4 и 5 и два идентичных зеленых со сторонами 3, 4, 5.

S = (3*3*4/2 + (3² + 4² + 5²)*√3/4)/2 = 9 +25*√3/4 ≈19,825

Если под овалом понимать эллипс с полуосями A и B, то, как нетрудно показать, его площадь равняется произведению A на B, помноженному на число pi = 3,14159265358979323846264. И не нужны тут никакие углублённые курсы.

У меня получилось решение, но оно не полностью подходит условиям задачи. Исходную фигуру я разделил четырьмя прямыми не на 4 части, а на 9. Из них и можно сложить квадрат стороной равной корень из 17. То, что квадрат должен иметь такую сторону понятно, ведь площадь исходной фигуры равно 17 квадратам (состоит из 17 одинаковых квадратов). Собственно идея решения и состоит в том, чтобы строить сначала такой квадрат и потом уже разбивать фигуру. В моем варианте решения разбиение происходит по диагоналям прямоугольников со сторонами 4 и 1 (4^2 +1^2 = 17).

Решение ясно из рисунка.

Кажется докумекал. Идея прежняя, но я в первом варианте провел линии чуть ниже и чуть не так. Привожу второе решение, где фигура разбивается на 4 части и в результате сложения этих частей получается квадрат стороной корень из 17.

Решение понятно из рисунка.

Ставим нижнюю часть вверх, левую вправо, а самую маленькую сами знаете куда))

Источник

Можно ли описать окружность в ромб?

Описать окружность вокруг ромба можно лишь в том случае, если все его углы равны 90 градусам. … Фигуру можно вписать в окружность, только если сумма ее углов, которые лежат напротив друг друга, равна 180 градусов (согласно свойству вписанного в окружность четырехугольника).

Как описать ромб?

Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам.

Можно ли описать окружность около квадрата?

Окружность называется описанной вокруг квадрата, в том случае, если все вершины квадрата лежат на этой окружности. Вокруг квадрата можно описать лишь одну окружность.

Можно ли описать окружность в прямоугольник?

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Так как сумма углов прямоугольника равна 360 градусов, то вокруг него можно описать окружность. Центр описанной окружности вокруг прямоугольника будет лежать в точке пересечения его диагоналей.

Можно ли описать окружность около любого четырехугольника?

Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Как доказать что ромб?

1) Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом. 2) Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом. 3) Если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом. 4) Если смежные стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.

Как выглядит ромб?

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Ромб с прямыми углами является квадратом. Ромб рассматривают как вид параллелограмма, с двумя смежными равными сторонами либо с взаимно перпендикулярными диагоналями, либо с диагоналями делящими угол на 2 равные части.

Можно ли около любого параллелограмма описать окружность?

3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

Как рассчитать окружность квадрата?

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Можно ли описать окружность около прямоугольника параллелограмма?

Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является прямоугольником. Дано: ABCD — четырехугольник, окружность (O; R) — описанная.

Почему в прямоугольник нельзя вписать окружность?

Если у прямоугольника все стороны не равны, то в него нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Это свойство следует из того, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон четырехугольника равны.

Почему нельзя описать окружность около ромба?

Описать окружность вокруг ромба можно лишь в том случае, если все его углы равны 90 градусам. … Фигуру можно вписать в окружность, только если сумма ее углов, которые лежат напротив друг друга, равна 180 градусов (согласно свойству вписанного в окружность четырехугольника).

Когда можно описать окружность около выпуклого четырехугольника?

Когда можно вписать окружность в четырехугольник когда описать вокруг четырехугольника?

Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны. … Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Когда около трапеции можно описать окружность?

Теорема. Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная. … Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

Источник

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Источник