почему нельзя построить правильный семиугольник
Семиугольник, виды, свойства и формулы
Семиугольник, виды, свойства и формулы.
Семиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.
Семиугольник, выпуклый и невыпуклый семиугольник:
Семиугольник – это многоугольник с семью углами.
Семиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.
Семиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый семиугольник – это семиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Звёздчатый семиугольник – семиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого семиугольника могут пересекаться между собой.
Рис. 1. Выпуклый семиугольник
Рис. 2. Невыпуклый семиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого семиугольника равна 900°.
Правильный семиугольник (понятие и определение):
Правильный семиугольник – это правильный многоугольник с семью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный семиугольник – это семиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 128 4/7° ≈ 128,571°.
Рис. 3. Правильный семиугольник
Правильный семиугольник имеет 7 сторон, 7 углов и 7 вершин.
Правильный семиугольник можно невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).
Свойства правильного семиугольника:
1. Все стороны правильного семиугольника равны между собой.
2. Все углы равны между собой и составляют 128 4/7° ≈ 128,571°.
Рис. 4. Правильный семиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного семиугольника равна 900°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного семиугольника O.
Рис. 5. Правильный семиугольник
5. Количество диагоналей правильного семиугольника равно 14.
Рис. 6. Правильный семиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный семиугольник
Формулы правильного семиугольника:
Пусть a – сторона семиугольника, r – радиус окружности, вписанной в семиугольник, R – радиус описанной окружности семиугольника, P – периметр семиугольника, S – площадь семиугольника.
Формулы стороны правильного семиугольника:
Формулы периметра правильного семиугольника:
Формулы площади правильного семиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный семиугольник:
Семиугольник в природе, технике и культуре:
В некоторых странах, например, в Великобритании, некоторые монеты имеют правильную криволинейную семиугольную форму.
Некоторые виды кактусовых имеют форму звездчатого семиугольника.
Новое в блогах
Тайны многоугольников
Немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777–1855), считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Ещё в 19 лет Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма (3, 5, 17, 257, 65537), то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Столь замечательное открытие произвело на юного Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры, и решил посвятить свою жизнь математике. Гаусс и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника (который впервые смог построить сам Гаусс).
Из открытия Гаусса следует, что правильный многоугольник можно построить при помощи циркуля и линейки (это очень важные слова и об этом ещё будет сказано ниже), если число его сторон ( G ) выражается следующей формулой (теорема Гаусса – Ванцеля):
G = (2^ n )(3^ a )(5^ b )(17^ c )(257^ d )(65537^ f ), (1)
Важное замечание. В первом интервале (при В = 1, где G растет от 1 до 10) первые многоугольники Гаусса-Ванцеля – это многоугольники с числом сторон… G = 1 и G = 2. «Сходу» нельзя ни представить, ни объяснить столь «экзотические» многоугольники (с одной и двумя сторонами!), тем не менее, формула (1) их «выдает», поэтому будем с этим считаться, но пока не будем задавать вполне законный вопрос – а что бы это значило ( G = 1 и G = 2)? Попробуйте сами пофантазировать на этот счёт.
В последующих 52-х интервалах (при В = 10, 11, 12, 13, …, 60, 61) мы будем получать (на первый взгляд – число случайным образом?) значения исключительно из следующего ряда: К = 104, 106, 108, 110, 112. Для указанных 52-х значений К линию тренда можно описать такой формулой:
где ПТС = 0,00729735308 – постоянная тонкой структуры (она примерно равную числу 1/137). ПТС – самая загадочная (и безразмерная) фундаментальная физическая константа. Ричард Фейнман (1918-1988), выдающийся американский физик-теоретик, один из «отцов» квантовой электродинамики (объясняющей фундаментальные основы мироздания), лауреат Нобелевской премии по физике (1965 г), как-то назвал постоянную тонкой структуры – «одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком. ». Ещё можно добавить, линия тренда (3) проходит чуть выше точки К = 106 и это единственное именно такое значение К (при В = 36) среди указанных 52-х значений К. При В = 60 и В = 61 имеем К = 108, а вот уже при В = 62 – мы получим К = 104.
Если ввести обозначения: Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – порядковый номер многоугольника Гаусса-Ванцеля (после сортировки их всех по возрастанию параметра G ), то тогда для параметра G можно записать следующие приближенные формулы (законы роста G ):
при Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 500 получаем: G = exp (0,955* Z ^0,5), (4)
при Z = 501, 502, 503, …, 31000 получаем: G = 45890* exp (0,02166085* Z ). (5)
В заключение привожу главный вопрос виртуальной космологии в части многоугольников Гаусса-Ванцеля – эти многоугольники (математические закономерности, описывающие их) имеют отношение к реальному (физическому) миру? Сам я на данный вопрос, как всегда, отвечаю утвердительно, хотя данная статья (тоже как обычно) не содержит очевидных доказательств…
Построение на плоскости
Нам понадобятся: карандаш, линейка, циркуль.
Построение угла в 60
1. Проведём прямую и отметим на ней точку А.
2. Из точки А проведём дугу произвольного радиуса и получим точку В.
3. Из точки В проведём дугу радиуса АВ, чтобы она пересекла ранее начерченную дугу.
4. Проведённая через точку пересечения (С) и точку А прямая будет второй стороной требуемого угла.
Построение угла в 45
1. Построим угол 60, кака описано выше.
2. Разделим полученный угол пополам.
3. Угол между лучами 60 и 30 разделим пополам. В результате получим угол в 45.
Построение угла в 75
1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.
2. В ходе дальнейшего деления надвое получим угол в 15.
3. Отразим угол в 15 через луч 60 и так получим угол в 75.
Построение угла в 90
1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.
2. Получившийся угол в 30 через луч 60 и так получим угол точно в 90.
Разделение отрезка на равные части.
1. Проведём прямую и отметим на ней отрезок АВ.
2. Из точки А проведём вспомогательную прямую и разделим её на столько одинаковых частей, на сколько требуется разделить отрезок АВ. Делить будем при помощи циркуля. Последнюю точку обозначим буквой С.
3. Последнюю точка (С) соединим с концом отрезка АВ. Построим рад параллельных отрезку СВ прямых по всей длине отрезка АВ. Точки пересечения параллельных прямых с отрезком АВ и будут точками раздела отрезка на несколько равных частей.
Построение правильного пятиугольника.
1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.
Построение правильного шестиугольника.
1. Проведём окружность радиусом 50 мм.
2. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.
3. Из точки А на линии окружности отложим шесть раз радиус нашей окружности. Соединив прямыми точки пересечения, получим шестиугольник.
Построение правильного семиугольника.
1. Проведём окружность заданного радиуса. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.
2. Из точки D проведём дугу радиусом равным радиусу окружности.
Общий метод построения многоугольников.
1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии. Продолжим горизонтальную лини. За точки А и В.
2. Из точки D проведём дугу радиусом, равным радиусу окружности так, чтобы дуга пересекла горизонтальную линию.
3. При помощи вспомогательной прямой разделим вертикальную линию на столько равных частей, сколько сторон многоугольника требуется получить. Для примера показано построение одиннадцатиугольника.
Подскажите пожалуйста
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела» Построение правильных многоугольников»)
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°. 
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела» Построение правильных многоугольников»)
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела» Построение правильных многоугольников»)
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела» Построение правильных многоугольников»)
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Семиугольник
| Обычный семиугольник | |
 | |
| Тип | Правильный многоугольник |
|---|---|
| Края | 7 |
| Вершины | 7 |
| Символ Шлефли | |
| Группа симметрии | Группа диэдра D 14 |
| Внутренний угол | 128 ° 4 ⁄ 7 |
редактировать  | |
Резюме
Характеристики правильного семиугольника
a ^ <2>\ cot \ left ( <\ frac <\ pi><7>> \ right) \ приблизительно 3 <,>63391
a ^ <2 >>
.
Невозможность построения по линейке и компасу
Правильный семиугольник нельзя построить с помощью линейки и циркуля, потому что простое число 7 не является числом Ферма ( теорема Гаусса-Ванцеля ). Мы также можем доказать это свойство невозможности построения, не обращаясь к числам Ферма, используя только теорему Вантцеля :
Построение пересечением коник
Строительство от neusis
Предварительная конструкция
На прилагаемом рисунке ABCDEFGA представляет собой многоугольник, все сегменты которого имеют длину 1. ABFD и AGCE выровнены.
Докажем, что угол DAE равен π / 7 :
Докажем, что длина BE равна √ 2 :
Строительство от neusis
Строим квадрат CDEF со стороной 1, рисуем серединный перпендикуляр (d) к [DE], а также к [CF], а также окружность с центром E и радиусом EC. Мы помещаем начало линейки на серединный перпендикуляр, линейка опирается на точку D, мы тащим по серединному перпендикуляру начало линейки к вершине фигуры, сохраняя давление на D, пока не появится окружность (C) пересекает линейку на градуировке 1. Затем мы получаем точки B и A на градациях 0 и 1 соответственно. Мы строим окружность, описанную в равнобедренный треугольник ADE (методом пересечения серединных перпендикуляров двух его сторон, который определяет центр O строящейся окружности, наиболее точное позиционирование заключается в том, чтобы взять две самые длинные стороны который также должен совпадать на уже начерченном срединном перпендикуляре (d) к DE), который также является описанной окружностью основного семиугольника DEGHAIJ DE, который достаточно построить, перенеся на циркуль по описанной окружности длину его первая дуга DE, начинающаяся из точек D, E и A, уже начерчена (DE = EG = GH = HA = AI = IJ = JD).
Этот метод, позволяющий нарисовать по крайней мере один правильный семиугольник со стороной 1 (но описанного радиуса, первоначально неизвестного), затем позволяет разделить диск на 7 равных частей, перемещая центр этого контрольного семиугольника в центр круга, который будет разделить, затем с помощью линейки, опираясь на общий центр и вершины первого семиугольника, нарисуйте радиусы, разрезающие круг, который нужно разрезать на 7 равных дуг:
Эта вторая конструкция требует только, чтобы линейка и циркуль «скользили» по уже построенному унитарному семиугольнику, чтобы центры смещенного семиугольника совпадали с центром круга, который нужно разделить. Достаточно просто провести первую линию, соединяющую центр первого семиугольника с центром круга, который нужно разделить, затем провести параллели, проходящие через вершины первого семиугольника, и сослаться на циркуль на этих параллелях. расстояние между двумя центрами. После того, как второй единичный семиугольник нарисован и выровнен с центром круга, который нужно разделить, остается только использовать его, чтобы нарисовать 7 радиусов, пересекающих круг, который нужно разделить, и проходящих через вершины перемещенного единичного семиугольника, чтобы получить вписанный в диск правильный семиугольник любого радиуса, который нужно разделить на 7 равных частей.
Примерные конструкции
Использование равностороннего треугольника
Отсюда следующая конструкция:
Нарисуйте круг с радиусом 1 и центром M. Возьмите точку X на окружности. Окружность с центром X и радиусом XM пересекает предыдущую окружность в точках A и Y Прямые (AY) и (MX) пересекаются в точке H. Длина AH является хорошим приближением стороны семиугольника, вписанного в тот же круг.
По этому методу центральный угол составляет приблизительно 51,32 градуса вместо ожидаемых 51,43 (приблизительно) или относительной погрешности 2,15 на тысячу.