почему нельзя догнать черепаху
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху
Лидия, препод в универе
20 января
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху: про знаменитые апории Зенона
Даже те, кто пересдавал философию по несколько раз, не в силах сразу получить тройку, должны помнить словосочетание «апории Зенона». Это логические парадоксы, которые до сих пор не имеют определенного решения. Над этими апориями интеллектуальная часть человечества думает уже более 2000 лет.
Сперва напомню, кто такой был этот Зенон. Он был представителем элейской школы философии в Древней Греции (V в до н.э), учеником знаменитого Парменида, который ввел в философию понятие «бытие».
Зенон Элейский
Элеаты утверждали, что, поскольку бытие тождественно мышлению и равно самому себе, то есть заполняет собой вообще все, никакого движения нет. Бытие неподвижно в принципе.
Опираясь на это утверждение, Зенон и сформулировал свои апории. Мы знаем о них благодаря работам других мыслителей, пересказавших эти парадоксы. В апориях Зенон показывает невозможность движения, даже если на практике мы постоянно видим и ощущаем его.
Но вернемся к апориям.
По сути говоря, Зенон как был разбил этот полет на кадры и увидел в своем воображении первое в мире кино по кадрам.
Зенону приписывают и другие апории, но эти три самые известные. В чем же их загвоздка? Почему очевидный факт вдруг стал загадкой? Ясно же, что Ахилл догонит, стрела летит, человек доходит до намеченного пункта.
Так что пока апории Зенона остаются нерешенными загадками.
Парадокс «Ахиллес и черепаха» или запудривание мозгов.
Я думаю практически все знают, как звучит этот парадокс:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.» Но, естественно, если человек обладает здравым смыслом, он понимает, что на практике эта дичь не работает, и если изначально первый объект движется быстрее второго, то он всегда его догонит и перегонит. Давайте по порядку разберемся в этом «парадоксе».
1) 1-е предложение: «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов.» Тут как-бы все ясно. Из этого предложения стало ясно, что скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи. Это означает, что за определенный промежуток времени, Ахиллес пробежит расстояние в 10 раз больше черепахи. Запомним это.
2) 2-е предложение: «За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.» Ок, визуально представили себе эту картину.
3) 3-е предложение: Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. И вот тут начинается незаметное запудривание.
Разберем по-подробнее 2-е предложение: «За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.» Давайте условно возьмем, сколько времени пройдет, когда Ахиллес преодолеет расстояние в 1000 шагов, а черепаха-100 шагов. Допустим, это 10 секунд. Далее, в 3-ем предложении говорится, что когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. В данном случае, поскольку преодоленное расстояние Ахиллесом и черепахой в 10 раз меньше ( 100 vs 10 шагов) относительно первого пройденного этапа, соответственно и время потраченное на это расстояние также в 10 раз меньше и равна 1 секунде ( надеюсь этот момент понятен).
Решение парадокса Зенона Ахилл и черепаха
T = (1/2)*L/(Va-Vч) + (1/2)^2*L/(Va-Vч)+….+ (1/2)^n*L/(Va-Vч) при n стремящемся к бесконечности, где ^n означает возведение в степень n.
Упростим выражение
Т = (L/( Va-Vч))*(СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/2)^n)
Для нахождения суммы ряда можно воспользоваться одним из математических сайтов (концентрирующих достижения современной математики), например,math24.biz/sum.
Вот уж где каждый может принять участие в математическом изобличении Зенона.
Здесь (см. рисунок) формулу ряда надо записать как (1/2)^n и установить начальное
значение n=1. Верхний предел суммы устанавливается равным этому пугающему значению «+ бесконечность». Как на рисунке.
Останется нажать на кнопочку (Решение или Enter), 2-3 секунды и ответ на древний как мир вопрос Зенона готов. Сумма этого ряда строго равна 1.
Тогда время сближения
Т = L/( Va-Vч).
Оно конечно и предсказуемо.С точки зрения математики парадокс заключался в том, что Зенон обычную единицу представил в неразрешимом для своего времени виде.
Конечно великий мудрец Зенон может сказать: Вы думали тысячу лет над одним вариантом задачи, а если бы Ахилл приближался каждый раз на 2/3 расстояния или любое другое число меньшее единицы?
Ответ на этот вопрос также уже готов, ведь математика не решает частные задачи, она всегда стремится найти общее решение для множества подобных задач. В данном случае мы имеем дело с бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями для которых достаточно задать первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии (меньший единицы по модулю).
Обозначим часть пути, которую каждый раз отмеряет от остатка Ахилл как k/m, где k и m любые положительные целые числа, и k < m. Общее решение будет иметь вид:
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1) )
Собственно, сама бесконечно убывающая геометрическая прогрессия такова:
СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1)
q в нашем случае равно(m-k)/m
тогда:
S = 1/(1 – ((m-k)/m)) = m/k
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(m/k) = L/( Va-Vч)
В результате мы получили всё то же известное (неоднократно истоптанное) решение для равномерного прямолинейного движения. Результат определяется только скоростью сближения Ахилла и черепахи, и никак не зависит от хитроумных рассуждений наблюдающего за ними Зенона.
Парадокс Зенона решён. Ахилл неизбежно догоняет коварную черепаху. Собственно, и черепаха уже никакая не коварная. Это обычное, в чем-то даже симпатичное существо.
Но, повержен ли Зенон? Давайте вспомним, что собственно хотел доказать Зенон своим парадоксом:
То, что Ахилл никогда не догонит черепаху?
Или то, что отрезок не может состоять из бесконечно малых частей?
Зенон придумал свой парадокс пытался показать абсурдность деления отрезка на бесконечно малые части. Зенон пытался доказать от обратного, что любой отрезок состоит из конечного числа частей и что бесконечно малого не существует. Что делать, бесконечности никогда не нравились мудрецам.
Зенон не забыт, более того, он оказалась на передовой битвы научных теорий. С одной стороны квантовая физика, успешно применившая квантовую теорию поля к электромагнитным, сильным, и электрослабым взаимодействиям, нацелена на квантование гравитационного поля. С другой стороны гравитационное поле – это, хоть и искривлённое гравитацией, но непрерывное пространство общей теории относительности.
Линия фронта пролегает на предельно малых расстояниях порядка планковской длины (10 в минус 33 метра). Постоянная Планка — «достаточно безумное» порождение квантовой физики. В то же время линия фронта проходит в условиях запредельной степени сжатия чёрных дыр — этого мрачного пожирателя звёзд, предсказанного общей теорией относительности. И как бы ни мала была граница, Ахиллу придётся её пересечь.
В результате битвы научных теорий, преодолевшей столетний рубеж, появились теории квантовой гравитации, пытающиеся примерить физиков. В 2020 году вышел перевод книги «Нереальная реальность» написанной одним из основателей теории петлевой квантовой гравитации Карло Ровелли. Вот его заключение относительно судьбы незадачливого преследователя черепахи Зенона:
«Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зёрен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться всё ближе и ближе к черепахе, пока, наконец не настигнет её одним квантовым скачком».
Такова на данный момент драматическая развязка парадокса Зенона.
Догонит ли Ахилл черепаху?
Догонит ли Ахилл, самый быстрый бегун ахейской армии, черепаху, самое медленное животное на земле?
Вопрос довольно-таки странный, но, тем не менее, он продолжает занимать умы математиков, логиков, и даже философов едва ли не по сей день.
Первым о возможности состязания между Ахиллом и черепахой заговорил Зенон Элейский, старший современник Сократа, живший на юге Италии между 490 и 430 годами до н.э. На этот, им же самим поставленный вопрос, он ответил отрицательно: Ахилл никогда не догонит черепаху!
Ему, естественно, отозвались многие, как жившие в одно время с Зеноном, так и рождавшиеся после него. Даже Гегель и Аристотель участвовали в этой полемике. После такого, придёт ли кому-нибудь в голову сомневаться насчёт черепахи, неизвестно зачем оказавшейся соперницей быстроногого Ахилла. Вердикт был однозначен: Зенон непростительно ошибался. Все без исключения были с Зеноном не согласны и энергично доказывали обратное: быстроногий Ахилл обязательно догонит черепаху, просто не может не догнать её. И даже объясняли причину ошибки Зенона: она была вызвана уровнем тогдашней математики, зашедшей в пору жизни Зенона в полосу кризиса. Всё, открытое прежде, было уже освоено, а новое, ещё не открытое, не торопилось открываться.
Итак, Ахилл черепаху непременно догонит. Действительно, а разве могло быть иначе? Слишком уж очевиден исход предполагаемого состязания. Черепахе просто не имело никакого смысла вплетаться в это, заведомо и однозначно проигрышное для неё мероприятие.
Но может быть при каких-то особенных условиях Ахилл действительно не сможет догнать черепаху? Только вот при каких?
Однако несмотря на, казалось бы, неоспоримую победу над заблуждавшимся Зеноном, привкус какой-то неудовлетворённости, тем не менее, остаётся. Почему-то не хочется так просто отдавать незабытому и по сей день философу лавры, безусловно, проигравшего. Ведь не безумец же он был в конце-концов, чтобы утверждать всерьёз такую очевидную всякому нелепицу, возражая против наглядного и бесспорного.
А что, если попытаться поверить Зенону и с его утверждением (пусть и парадоксальным) всё-таки согласиться, посмотрев на проблему с иной стороны, с позиций самого Зенона, почему-то утверждавшего, что Ахилл никогда не догонит черепаху.
Только вот зачем Ахиллу состязаться в скорости с черепахой? Зачем ему вообще потребовалось её догонять? Какой в этом смысл? И за что оказался так опозорен на все времена быстроногий Ахилл, который черепаху в обычных условиях, безусловно, догонит и перегонит, возможно, даже этого не заметив.
Но может быть есть ещё один вариант, незамеченный и неучтённый прежде? Поверив Зенону, в то же время не принять его доказательств, а попытаться найти какие-то иные?
Следовательно, если черепаха способна перемещаться исключительно в пространстве физическом, то человек обитает ещё и в пространстве духовном, в котором пути Ахилла и черепахи не могут не только пересечься, но даже и элементарно соприкоснуться.
Ахилл и черепаха символизируют собой два противоположных принципа человеческого бытия: бытия, никогда не отрывающего глаз от земли и потому не знающего про существование неба над головой, и бытия, для которого земля, как и для птиц, лишь точка отсчёта на пути обретения крыльев.
Не о том же ли и апория Зенона? Ведь всякий человек, появляющийся на свет, рано или поздно оказывается перед выбором: как прожить жизнь? Как ползающая по земле медлительная черепаха или же, как быстроногий Ахилл, хотя и бегущий по той же земле, но, касаясь ногами земли, головой устремлённый в небо? Ведь быть одновременно и быстроногим Ахиллом и медлительной черепахой невозможно.
Так что прав, прав, тысячу раз прав Зенон: никогда быстроногий Ахилл не догонит медлительную черепаху по той простой причине, что он не станет её догонять. Ему незачем это делать. Для Ахилла соблазн догнать черепаху означал бы движение вспять, назад, во тьму давно истаявшего прошлого, туда, где его отличие от черепахи стало бы едва различимым. Если бы он догнал черепаху, то это означало бы для него – оглянуться.
Ведь не случайно же оглянувшаяся назад, на свою прошлую жизнь жена Лота, выводимая Ангелами вместе с мужем и дочерьми из обречённого на гибель Содома, моментально превратилась в камень.
Запрет оглядываться встречается и в мифологии. Орфей, оглянувшийся, несмотря на запрет, потерял навсегда свою возлюбленную Евридику, выводимую им из царства мёртвых.
Предостерегает оглядываться назад Иисус Христос: «никто, возложивший руку свою на плуг и озирающийся назад, не благонадёжен для Царствия Божия» (Лк. 9:62). Жить надо лицом вперёд, а не назад…
Если попытаться взглянуть на проблему в ином разрезе, то нельзя не обратить внимания на то, что в основе слова «черепаха» многоговоряще лежит слово «череп».
Таким образом, апория Зенона, разводящая Ахилла и черепаху в разные стороны, была вовсе не о быстроногости первого и медлительности второй. Она была о внутреннем мире человека, о двух уровнях этого мира, о двух родах ума и, наконец, о двух, возможных для человека путях, из которых ему неизбежно предстоит выбрать какой-то один.
Но что же тогда сам Зенон? Ведь утверждая, что Ахилл никогда не догонит черепаху, он обосновывал это совсем иначе. Он считал, что пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха за это время уйдёт дальше. И так будет всякий раз, как только Ахилл достигнет точки недавнего пребывания черепахи.
Философ мысленно делил пространство на всё уменьшающиеся отрезки, считая, что эти отрезки способны уменьшаться до бесконечности, лишая Ахилла возможности догнать ускользающую от него черепаху.
Так что вывод о том, что быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху, как бы ни на чём не основывается. Он повисает в воздухе, живя как бы отдельно от приводимых Зеноном доказательств. Он парит над ними, недосягаемый и неотменяемый.
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху — решение популярной задачи
Согласно условию задачи, Ахиллес находится сзади черепахи. Расстояние, разделяющее их, не является превышающим человеческие возможности, однако Ахиллес, несмотря на всю свою силу, мощь и необыкновенные физические возможности, так никогда и не сможет догнать медленно бредущую вперед черепаху.
Зенон доказывал это парадоксальное утверждение таким образом. Так как Ахиллес находится позади черепахи, значит, чтобы догнать ее, ему надо преодолеть какое-то расстояние. Однако пока Ахиллес будет преодолевать разделяющее их пространство, черепаха хоть на немного, но продвинется вперед. Ахиллес преодолеет и это новое расстояние, но тем временем черепаха опять несколько продвинется вперед. Это движение будет продолжаться до бесконечности, и хотя расстояние будет все более и более сокращаться, оно никогда не исчезнет полностью. Следовательно, быстроногий Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху.
Этим рассуждением Зенон совершенно логично доказывает отсутствие любого движения, утверждая, что невозможно пройти в конечное время бесконечное число половинок пути. Однако здесь он совершает ту же ошибку, как и в апории «Дихотомия» (ему на нее уже указывал Аристотель). По Зенону, как мы уже говорили, время и особенно пространство бесконечно делимы. И хотя это правильное, доказанное наукой утверждение, оно абсолютно неприменимо к реальной жизни.
Действительно, трудно даже представить себе Ахиллеса, преодолевающего расстояние в одну тысячную миллиметра. Таким образом, становится совершенно ясно, что эта апория Зенона оказывается правильной в теории, но абсолютно неверной на практике.
Изначально скорость Ахилла принята больше скорости черепахи, при этом время на покрытие расстояния у обоих участников забега стартует одновременно и продолжается равномерно до бесконечности. При таких вводных данных рано или поздно за счет разницы в скоростях и неизменности течения времени расстояние между ними сначала сократится до нуля и далее начнет десятикратно увеличиваться, только теперь догонять будет черепаха, безнадежно отставая на расстояние, стремящееся к бесконечности.
Своими апориями Зенон ставил в тупик многих мудрецов древности и современности. Его размышления подвигли других мыслителей к попыткам разрешения этих парадоксов, что, несомненно, послужило развитию новых философских учений. И хотя к настоящему времени все его логические парадоксы разрешены, Зенон, оригинальный мыслитель древности, навсегда оставил свой след в истории философии.