какие неравенства можно складывать а какие перемножать
Действия с неравенствами
Какие действия можно выполнять с неравенствами?
Неравенства вида a>b и c>d называются неравенствами одинакового смысла (одинакового знака, одноимённые).
Неравенства a>b и c
2) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производится вычитание.
3) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.
Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o
4) Неравенства противоположного смысла ч положительными членами можно почленно делить, оставляя знак того неравенства, которое является делимым.
Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o
5) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.
b,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Верно и обратное: для a>0, b>o, k∈ N
b.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Почленное сложение неравенств и другие действия с неравенств используются как в алгебре, так и в геометрии.
Решение линейных неравенств
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.
Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.
Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов это:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Сложение и умножение числовых неравенств
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Сложение и умножение числовых неравенств
Все разобранные выше свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведём блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей.
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями.
Заметим, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам.
Следствие . Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида с положительными a и b даёт верное числовое неравенство
В заключение, соберём все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств:
если и – любое число, то
если – положительные числа,
Пусть и – положительные числа. Верно ли, что
Пусть и – отрицательные числа. Верно ли, что
Из данных неравенств выпишите те, которые верны при любом значении :
Сложите почленно неравенства:
Пусть – произвольное число. Сравнить с нулём значение выражения:
Докажите, что при любом а дробь принимает значение, большее или равное 2.
Докажите, что правильная дробь ( a и b – натуральные числа, ) увеличится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.
Докажите, что неправильная дробь ( a и b – натуральные числа, ) уменьшится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.
Первый велосипедист проехал из посёлка в город и возвратился обратно, двигаясь с постоянной скоростью. Второй велосипедист ехал в город со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, а возвращался в посёлок со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем скорость первого велосипедиста. Кто из них затратил на весь путь больше времени?
Расстояние от турбазы до станции равно 18 км. Чтобы попасть на поезд, туристы должны были пройти это расстояние с определённой скоростью. Однако, половину пути они шли со скоростью на 1 км/ч меньше намеченной, а вторую половину пути – со скоростью на 1 км/ч больше намеченной. Успеют ли туристы попасть на поезд?
Оцените значение выражения:
Решение неравенств. Общие соображения.
Свойства числовых неравенств
Для любых дейcтвительных чисел a, b, c и d выполняются следующие свойства:
Следующие свойства выполняются только для положительных чисел.
Почему неравенства не решают так же, как уравнения?
Итак, нужно найти корни уравнения. Что можно сделать?
Вариант первый.
Вариант второй.
Привести к общему знаменателю. При этом неважно перенесены ли предварительно все члены уравнения в одну сторону или нет.
Не забыть об ограниченности области допустимых значений выражения (написать ОДЗ).
Отбросить общий знаменатель (одинаковые знаменатели в обеих частях равенства, если не переносили всё в одну сторону).
Решить упрощенное уравнение, проверить полученные корни на соответствие ОДЗ, написать ответ.
Вариант третий.
Попробуйте всё это проделать самостоятельно для тренировки навыков решения дробно-рациональных уравнений. И убедитесь в том, что во всех трёх случаях будут получены одинаковые ответы.
Для решения уравнений реального ЕГЭ вы можете выбрать любой из этих подходов, который вам придётся по душе.
Ответ: x ∈ <3;4>.
Замечение:Отдельные ответы удобно записывать в фигурных скобках как элементы перечислимого множества, в отличие от интервалов (a;b) и отрезков [a;b], для обозначения которых используются круглые или квадратные скобки соответственно..
Объединяя эти случаи, т.е. первую часть ответа с пустым множеством, в итоге получаем:
Как проверить ответ неравенства?
И всё-таки, если это ответственное решение, например, важный экзамен, имеет смысл потратить некоторое время и провести вычисление нескольких числовых значений для неравенства.
1) Подставить в неравенство хотя бы по одному значению из промежутков, входящих в ответ, чтобы убедиться, что полученные числовые неравенства будут верными,
2) и по одному значению из промежутков, не входящих в ответ, чтобы убедиться что соответствующие числовые неравенства будут неверными.
3) Также не мешает перепроверить граничные точки промежутков.
Проверка ответа примера 2.
1) Все следующие числовые неравенства должны оказаться верными.
Выход из положения может быть следующим:
Вывод: Отбрасывание общего знаменателя можно производить только для тех неравенств, в которых этот знаменатель положительная константа. Т.е. здесь для неравенства (1). Во всех остальных случаях требуется более детальный анализ знаков чисел и выражений.
Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
Общие сведения о неравенствах
Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.
Определения и свойства
Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, 5 > 3
Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.
Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:
Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.
Свойство 1.
Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Свойство 2.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2
Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.
Свойство 3.
Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.
Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1
Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.
Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.
Неравенство 8 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».
Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:
Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.
Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.
Строгие и нестрогие неравенства
Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:
Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.
Двойное неравенство
Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.
Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.
Сначала записываем 6
Слева записываем, что это число больше, чем число 4
Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9
Неравенство с переменной
Неравенство, как и равенство может содержать переменную.
Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.
Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.
Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.
Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:
Как решать неравенства
Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.
Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.
А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.
Пример 1. Решить неравенство 2x > 6
Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.
В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2x > 6.
Итак, разделим обе части неравенства на 2.
Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство x > 3 будет верным.
Отметим, что неравенство x > 3 является строгим. « Переменная x строго больше трёх».
Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.
После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:
Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.
Числовые промежутки
Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.
Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8
Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.
Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.
Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.
Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.
На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.
Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:
В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.
На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.
Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.
Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.
На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:
На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.
На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.
С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:
То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.
Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:
В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.
А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.
Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.
Числовой луч
Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее
Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.
На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:
Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.
Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.
Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3
Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.
Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:
В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.
Открытый числовой луч
Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.
На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:
Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.
Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:
На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x , обозначается следующим образом:
Запишем ответ к неравенству x с помощью обозначения открытого числового луча:
В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x является строгим.
Отрезок
Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:
На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:
Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x ≤ 8 с помощью этого обозначения:
Интервал
Изобразим интервал на координатной прямой:
На письме интервал, заданный неравенством a обозначается следующим образом:
Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 с помощью этого обозначения:
Полуинтервал
Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.
В ситуации с полуинтервалом a ≤ x ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.
А в ситуации с полуинтервалом a ему принадлежит правая граница.
Изобразим полуинтервал 2 ≤ x на координатной прямой:
Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x принадлежит множеству его решений.
А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x не принадлежит множеству его решений.
На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x обозначается следующим образом:
Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x с помощью этого обозначения:
Изобразим полуинтервал 2 на координатной прямой:
Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 не принадлежит множеству его решений.
А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 принадлежит множеству его решений.
Изображение числовых промежутков на координатной прямой
Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5
Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:
Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой
Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.
Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.
Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:
Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.
Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:
Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5
Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.
Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [−1; 2) и [2; 5]
В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка. Промежуток [−1; 2) является полуинтервалом, промежуток [2; 5] — отрезком.
У полуинтервала [−1; 2) левая граница принадлежит ему, а правая нет.
А у отрезка [2; 5] обе границы принадлежат ему.
Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]
Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.
В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.
А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.
Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:
Примеры решения неравенств
Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax ), будем называть линейным неравенством с одной переменной.
Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2
Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b
Пример 1. Решить неравенство x − 7
Прибавим к обеим частям неравенства число 7
Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x и обозначается как ( −∞ ; a)
На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:
Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4
Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.
Пример 2. Решить неравенство −4x
Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Изобразим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y
Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:
Приведём подобные слагаемые:
Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства y являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 8
Решениями неравенства 
являются все числа, которые меньше 
. Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:
Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:
Изобразим множество решений неравенства 
на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 6. Решить неравенство 
Умножим обе части на 6
Решениями неравенства x являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x строгим.
Изобразим множество решений неравенства x на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 7. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 10
В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:
Перенесем члены без x в правую часть
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Разделим обе части получившегося неравенства на 10
Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 8. Решить неравенство 4
Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.
Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4
Решениями неравенства 1 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 является строгим.
Изобразим множество решений неравенства 1 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0
Разделим все члены неравенства на −2
Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 10. Решить неравенство 
Умножим обе неравенства на 12
Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 2
Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 11. Решить неравенство 
Умножим все части неравенства на 3
Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6
Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:
Пример 2. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 3
В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:
Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Когда решений бесконечно много
Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9)
Раскроем скобки в правой части неравенства:
Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
А если приведённое равносильное неравенство 0x имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) имеет те же решения.
Ответ можно записать в виде числового промежутка:
В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x
Раскроем скобки в левой части неравенства:
Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:
Приведём подобные слагаемые:
А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.
Запишем ответ в виде числового промежутка:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже