Как называется перпендикуляр к касательной

Как называется перпендикуляр к касательной

КРИВЫЕ КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК

Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых и использовались ими для описания различных природных явлений от траектории брошенного камня до орбит космических тел. В школьном курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим свойствам, возрастанию, убыванию и т. п. Геометрические же свойства кривых остаются в стороне.

В новых стандартах по математике профильного уровня обучения предусматривается изучение параболы, эллипса, гиперболы. Здесь мы рассмотрим эти кривые, а также некоторые другие именные кривые, определяемые как геометрические места точек, среди которых: лемниската Бернулли, конхоида Никомеда, улитка Паскаля, строфоида и др.

Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии, создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и др. наук.

Осью параболы называется прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпен­дикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе.

Это означает, что точка A ‘ не принадлежит параболе и, следовательно, прямая а имеет только одну общую точку А с параболой, т.е. является касательной.

Фокальное свойство параболы. Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразив­шись от параболы, пойдут в одном направлении, перпенди­кулярном директрисе.

Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения и тем, что от кривой свет отражается также как от касательной, проведенной в точку падения.

Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д.

В случае, если расстояние от точки C до фокуса меньше, чем расстояние до директрисы, то точек пересечения окружности с директрисой нет и, следовательно, нет касательных к параболе, проходящих через эту точку.

Задачи для самостоятельного решения

1. Изготовьте прибор для построения параболы. Для заданных фокуса и директрисы постройте соответствующую им параболу.

2. Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек на параболе до директрисы? Укажи­те соответствующую точку на параболе.

3. Для параболы с заданными фокусом и директрисой проведите касательную, перпендикулярную оси параболы.

4. Что будет происходить с параболой, если фокус: а) приближается к директрисе; б) удаляется от директрисы?

Ответ: а) Ветви параболы будут сжиматься; ветви параболы будут расширяться.

5. Для параболы с заданными фокусом и директрисой проведите касательную, проходящую через данную точку: а) на параболе; б) вне парабо­лы.

6. Докажите, что две касательные к параболе, проведенные из точки, принадлежащей директрисе, перпендикулярны.

7. Для заданных фокуса и директрисы параболы с помощью циркуля и линейки постройте несколько точек параболы.

8. Даны фокус параболы и две касательные. Постройте директрису этой параболы.

9. Даны фокус, касательная и на ней точка касания. Постройте директрису параболы.

10. Даны директриса параболы и две касательные. Постройте фокус параболы.

11. Даны директриса параболы, касательная и на ней точка касания. Постройте фокус параболы.

12. Даны две пересекающиеся прямые. Нарисуйте какую-нибудь параболу, касающуюся этих прямых. Сколько таких парабол? Какие точки плоскости могут быть фокусами таких парабол?

13. Дана парабола. Укажите способ нахождения ее фокуса и директрисы.

Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуется нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бу­маге эллипс (рис. 7).

Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом толь­ко одну общую точку.

Это означает, что точка A ’ не принадлежит эллипсу, и, следовательно, прямая a имеет только одну общую точку А с эллипсом, т.е. является касательной.

Фокальное свойство. Если источник света поместить в один из фокусов эллипса, то лучи, отразив­шись от эллипса, соберутся в другом его фокусе.

Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения, и тем, что от кривой свет отражается также как от касательной, проведенной в точку падения.

Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку (касаются), будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет.

Для другого способа получения эллипса потребуется сковорода и картонный круг диаметром вдвое меньше диаметра сковороды. Клейкой лентой укрепим на дне сковороды лист бумаги. Положив круг на сковоро­ду, продырявим его в любом месте, отличном от центра, отточенным ка­рандашом. Если теперь катить круг по краю сковороды, прижимая острие карандаша к бумаге, то на бумаге появится эллипс.

Задачи для самостоятельного решения

2. Даны фокусы эллипса и сумма расстояний до них. С помощью цир­куля постройте несколько точек этого эллипса.

3. Что будет происходить с эллипсом, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга?

Ответ: а) Эллипс приближается к окружности; б) эллипс сжимается к отрезку.

Ответ: а) Точки, расположенные внутри эллипса; б) точки, расположенные вне эллипса

6. Для заданных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине с.

11. Даны два фокуса и касательная к эллипсу. Постройте постоянную c и нарисуйте эллипс.

13. Дан эллипс. Укажите какой-нибудь способ нахождения его фокусов.

14. Возьмем сковородку и картонный круг диаметром, вдвое меньше диаметра сковороды. Клейкой лентой укрепим на дне сковороды лист бумаги. Положим круг на сковоро­ду, продырявим его в любом месте, отличном от центра, отточенным ка­рандашом. Если теперь катить круг по краю сковороды, прижимая острие карандаша к бумаге, то на бумаге появится эллипс. Докажите.

Для того чтобы нарисовать гиперболу, потребуется линейка, нить, длина которой меньше длины линейки. Разность длин линейки и нити должна быть меньше, чем расстояние между фокусами. Прикрепим один конец нити к концу линейки, а второй конец к фокусу. Второй конец линейки совмес­тим со вторым фокусом. Натянем нить, прижав ее к линейке острием ка­рандаша (рис. 13). Если поворачивать линейку вокруг фокуса, прижимая к ней карандаш и оставляя нить натянутой, то карандаш будет описывать гиперболу.

Аналогичным образом определяется касательная для точки, лежащей на другой ветви гиперболы.

Следовательно, прямая a является касательной.

Фокальное свойство гиперболы. Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразив­шись от гиперболы, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку (касаются), будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет.

Лабораторная работа. Укажем способ получения гиперболы из листа бумаги. Вырежем из листа бумаги круг и отметим точку F на оставшейся части листа. Сложим лист так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F ’ окружности вырезанного круга, и на бумаге образо­валась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точ­ку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Линии сгибов будут касательными к гиперболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму гиперболы.

Задачи для самостоятельного решения

2. Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами и разностью радиусов.

3. С помощью циркуля постройте несколько точек гиперболы с задан­ными фокусами и разностью расстояний до них.

Ответ: а) точки, расположенные внутри гиперболы; б) точки, расположенные вне гиперболы.

5. Что будет происходить с гиперболой, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга?

Ответ: а) Ветви гиперболы будут сжиматься; б) ветви гиперболы будут расширяться.

7. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух заданных окружностей. Рассмотрите различные случаи касания окруж­ностей.

8. Через точку гиперболы с заданными фокусами проведите касатель­ную к гиперболе.

10. Через точку вне гиперболы с заданными фокусами и разностью расстояний до них проведите касательную к этой гиперболе.

12. Даны два фокуса и касательная к гиперболе. Постройте постоянную c и нарисуйте гиперболу.

14. Дана гипербола. Укажите способ нахождения ее фокусов.

Рассмотрим еще несколько классических кривых, определяемых как геометрические места точек, носящих имена ученых, занимавшихся их изучением.

Задачи для самостоятельного решения

1. Укажите оси симметрии: а) лемнискаты; б) конхоиды; в) улитки; г) строфоиды.

Ответ: а) две перпендикулярные оси симметрии; б), в), г) одна ось симметрии.

5. Имеет ли циссоида оси симметрии? Если имеет, то сколько?

7. Имеет ли каппа оси симметрии? Если имеет, то сколько?

Ответ: Да, две перпендикулярные оси симметрии.

8. Докажите, что расстояния от точек каппы до прямой a не превосходят радиуса R окружности.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.

Источник

Касательная к окружности

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

Источник

Как называется перпендикуляр к касательной

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Теорема о касательной и секущей

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

C = 2 R.

L = R .

S = R 2 .

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольник

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

R = ,

R = ;

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

Окружность и четырехугольники

+ = + = 180°;

a + c = b + d ;

Касательная к окружности

1. Угол ACO равен 28°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол САО — прямой. Из треугольника АСО получим, что угол АОС равен 62 градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги АВ — тоже 62 градуса.

2. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах.

3. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус ОВ в точку касания, а также радиус ОА. Угол ОВС равен 90°. Треугольник ВОА — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол ОВА равен 44 градуса, и тогда угол СВА равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги АВ.

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

4. Через концы A, B дуги окружности в 62° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрите четырехугольник ОВСА. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°. Углы ОВА и ОВС и ОАС — прямые, угол ВОА равен 62°, значит, угол АСВ равен 28 градусов.

5. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника АВС складывается из периметров отсеченных треугольников.

Все эти задачи встречаются в Банке заданий ФИПИ под номером В6. А вот одна из сложных задач В3:

6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку О — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку О с вершинами А, В, С, D, E. Получились треугольники АОВ, ВОС, СОD, DOE и ЕОА.
Очевидно, что площадь многоугольника S = S_АОВ + S_ВОС + S_СОD + S_DOE + S_ЕОА.
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Источник

• ← Как оборудовать место для ночлега собаки своими руками: практическое руководство
• посадить пихту на участке примета →