Как называется основное уравнение квантовой механики
Квантовая механика
Из Википедии — свободной энциклопедии
Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием объектов при макроскопическом движении, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.
Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать: поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.
Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.
Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.
Квантовая механика
Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк (см. Постоянная Планка) для описания взаимодействия света с атомами.
Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны — но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.
Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие — без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.
О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:
неопределенность пространственных координат × неопределенность скорости частицы > h/m,
или, говоря математическим языком:
где Δx и Δv — неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h — постоянная Планка, а m — масса частицы.
Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц — таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары — энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10 –6 м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.
Из-за принципа неопределенности описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми мы привыкли описывать механическое движение, например шара по бильярдному столу, в квантовой механике объекты описываются так называемой волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера, которое и говорит нам о том, как изменяется со временем состояние квантовой системы.
Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.
Согласование волновых и корпускулярных свойств объектов микромира (см. Соотношение де Бройля) стало возможным после того, как физики условились считать объекты квантового мира не частицами и не волнами, а чем-то промежуточным и обладающим как волновыми, так и корпускулярными свойствами; в ньютоновской механике аналогов таким объектам нет. Хотя и при таком решении парадоксов в квантовой механике всё равно хватает (см. Теорема Белла), лучшей модели для описания процессов, происходящих в микромире, никто до сих пор не предложил.
Квантовая механика
| Эксперименты |
|---|
| Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона |
| Формулировки |
|---|
| Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана |
| Уравнения |
|---|
| Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга |
| Интерпретации |
|---|
| Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая |
| Развитие теории |
|---|
| Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация |
| Сложные темы |
|---|
| Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего |
| Известные учёные |
|---|
| Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт |
Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием повседневных объектов, квантовые эффекты в основном проявляются только в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.
Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.
Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.
Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.
Содержание
История
На заседании Немецкого физического общества, Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввёл универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.
Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями (квантами). Эти порции состоят из целого числа квантов с энергией 
таких, что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:
где h — постоянная Планка, и 
.
В 1905 году, для объяснения явлений фотоэффекта, Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов. Впоследствии, «кванты» получили название фотонов.
Для объяснения структуры атома, Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.
В 1923 году Луи де Бройль выдвинул идею двойственной природы вещества, опиравшуюся на предположение о том, что материальные частицы обладают и волновыми свойствами, неразрывно связанными с массой и энергией. Движение частицы Л. де Бройль сопоставил с распространением волны, что в 1927 году получило экспериментальное подтверждение при исследовании дифракции электронов в кристаллах.
Высказанные в 1924 году идеи корпускулярно-волнового дуализма были в 1926 году подхвачены Э. Шрёдингером, развернувшим на их основе свою волновую механику.
В 1925—1926 годах были заложены основы последовательной квантовой теории в виде квантовой механики, содержащей новые фундаментальные законы кинематики и динамики. Первая формулировка квантовой механики содержится в статье Вернера Гейзенберга, датированной 29 июля 1925 года. Эту дату можно считать днем рождения нерелятивистской квантовой механики.
Развитие и формирование основ квантовой механики продолжается до сих пор. Оно связано, например, с исследованиями открытых и диссипативных квантовых систем, квантовой информатикой, квантовым хаосом и пр. Помимо квантовой механики, важнейшей частью квантовой теории является квантовая теория поля.
В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании условия Вульфа — Брэгга для волн с длиной Де Бройля (см. Волны де Бройля). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условием Вульфа — Брэгга, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.
Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.
Математические основания квантовой механики
Существует несколько различных эквивалентных математических описаний квантовой механики:
Шрёдингеровское описание
Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях [1] :
где через 
обозначается скалярное произведение векторов 
и 
.
где 
— гамильтониан.
Основные следствия этих положений:
Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.
Стационарное уравнение Шрёдингера
Пусть 
амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет ее определить.
Функция 
удовлетворяет уравнению:
где 
—оператор Лапласа, а 
— потенциальная энергия частицы как функция 
.
Пусть E и U две постоянные, независимые от 
.
Записав стационарное уравнение как:
Принцип неопределённости Гейзенберга
Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.
Неопределенность между координатой и импульсом
Пусть 
— среднеквадратическое отклонение координаты частицы 
, движущейся вдоль оси 
, и 
— среднеквадратическое отклонение ее импульса. Величины и связаны следующим неравенством:
где 
— постоянная Планка, а 
Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и скорость частицы. Например, чем больше точность определения координаты частицы, тем меньше точность определения ее скорости.
Неопределенность между энергией и временем
Пусть ΔЕ — среднеквадратическое отклонение энергии частицы, и Δt — время, требуемое для обнаружения частицы.
Время Δt для обнаружения частицы с энергией E±ΔЕ определяется следующим неравенством:
Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики
Разделы квантовой механики
В стандартных курсах квантовой механики изучаются следующие разделы
Интерпретации квантовой механики
Существует множество интерпретаций квантовой теории, которые иногда плохо согласуются друг с другом.
Квантовая механика
 Квантовая механика | ||||||||||||||||||
| Принцип неопределённости | ||||||||||||||||||
| Введение Математические основы | ||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||
| См. также: Портал:Физика |
Туннельный эффект — квантовая механика показывает, что электроны могут преодолеть потенциальный барьер, что подтверждается результатами экспериментов.
Классическая механика, наоборот, предсказывает, что это невозможно.
Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием макроскопических объектов, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.
Содержание
История
На заседании Немецкого физического общества Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввёл универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.
Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями (квантами). Эти порции состоят из целого числа квантов с такой энергией 
, что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:
где h — постоянная Планка, и .
В 1905 году, для объяснения явлений фотоэффекта, Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов. Впоследствии «кванты» света получили название фотонов.
Для объяснения структуры атома Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.
В 1923 году Луи де Бройль выдвинул идею двойственной природы вещества, опиравшуюся на предположение о том, что материальные частицы обладают и волновыми свойствами, неразрывно связанными с массой и энергией. Движение частицы Л. де Бройль сопоставил с распространением волны, что в 1927 году получило экспериментальное подтверждение при исследовании дифракции электронов в кристаллах.
Высказанные в 1924 году идеи корпускулярно-волнового дуализма были в 1926 году подхвачены Э. Шрёдингером, развернувшим на их основе свою волновую механику.
В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона ). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании условия Вульфа — Брэгга для волн с длиной де Бройля (см. Волны де Бройля ). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условием Вульфа — Брэгга, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.
Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.
Основания квантовой механики
Как и в других разделах физики, в квантовой механике существует система постулатов, составляющая ее основания и задающая базовые понятия. Если исходить из совета А.Эйнштейна «Если вы хотите кое-что выяснить у физиков-теоретиков о методах, которые они применяют, я советую вам твердо придерживаться одного принципа: не слушайте, что они говорят, а лучше изучайте их действия. » (О методе теоретической физики (1933)), то вырисовывается следующая система постулатов.
Существует несколько различных эквивалентных математических описаний (представлений) квантовой механики:
Шрёдингеровское описание
Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях [3] :
где через обозначается скалярное произведение векторов и .
где — гамильтониан.
Основные следствия этих положений:
Стационарное уравнение Шрёдингера
Пусть амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет её определить.
Функция удовлетворяет уравнению:
Решение этого уравнения и есть основная задача квантовой механики. Примечательно то, что точное решение стационарного уравнения Шрёдингера может быть получено только для нескольких, сравнительно простых, систем. Среди таких систем можно выделить квантовый гармонический осциллятор и атом водорода. Для большинства реальных систем для получения решений могут быть использованы различные приближенные методы, такие как теория возмущений.
Пусть E и U две постоянные, независимые от .
Записав стационарное уравнение как:
Решение стационарного уравнения в случае, когда E-U>0
Принцип неопределённости Гейзенберга
Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.
Неопределенность между координатой и импульсом
Пусть — среднеквадратическое отклонение координаты частицы , движущейся вдоль оси , и — среднеквадратическое отклонение её импульса. Величины и связаны следующим неравенством:
где — постоянная Планка, а
Это центрирование на измерении, идущее от Н.Бора, очень популярно. Однако соотношение неопределенности выводится теоретически из постулатов Шрёдингера и Борна и касается не измерения, а состояний объекта: оно утверждает, что для любого возможного состояния выполняются соответствующие соотношения неопределенности. Естественно, что оно будет выполняться и для измерений. Т.е. вместо «с повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается» следует говорить: «в состояниях, где неопределенность координаты меньше, неопределенность импульса больше».
Неопределенность между энергией и временем
Пусть — среднеквадратическое отклонение при измерении энергии некоторого состояния квантовой системы, и — время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,
Иными словами, состояние, живущее короткое время, не может иметь хорошо определённую энергию. При этом, хотя вид этих двух соотношений неопределенности похож, но их природа (физика) совершенно различны.
Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики
Разделы квантовой механики
В стандартных курсах квантовой механики изучаются следующие разделы
Интерпретации квантовой механики
С точки зрения философии позитивизма, разногласия в интерпретациях не влияют на предсказания исходов конкретных экспериментов в рамках квантовой теории, и потому интерпретации являются нефальсифицируемыми, а следовательно, и ненаучными концепциями. Практическая ценность различных интерпретаций усматривается их сторонниками в некотором упрощении хода рассуждений при рассмотрении различных экспериментов, или обосновывается философскими соображениями.
Есть и другая точка зрения по данному вопросу.
Для выбора между конкурирующими научными теориями одного лишь опыта не достаточно. Кроме опыта, важными компонентами научного творчества являются интуиция, психология и философские соображения. Эталон для построения научной теории называется парадигмой. Смысл научных революций заключается не в смене одной фундаментальной теории другой под влиянием новых фактов, а в смене научных парадигм. [6]
Обсуждение интерпретаций квантовой механики связано с рефлексией того, что было сделанов в 1925-27 гг. и основывается на том, что физики говорят (а не делают).
| Квантовая теория | |||||||||||
| Не должна представлять реальность | Не полностью представляет реальность | Полностью представляет реальность | |||||||||
| Позитивизм | Измененные квантовые законы | Влияние сознания | Полная переработка | Декогеренция | Многомировая интерпретация | ||||||
| Стивен Хокинг Нильс Бор | Роджер Пенроуз | Юджин Вигнер | Интерпретация Бома | Ролан Омнес Мюррей Гелл-Манн Джеймс Хартл | Хью Эверетт | ||||||
| Джанкарло Джирарди Альберто Римини Вебер Вильгельм | Джон фон Нейман Фриц Лондон & Эдмонд Бауэр | Ханс-Дитер Зех Войцех Зурек | |||||||||
Комментарии
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Выделить Квантовая механика и найти в: