Как называется график функции sin x
Функция y = sin x, её свойства и график
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.
п.2. Свойства функции y=sinx
2. Функция ограничена сверху и снизу
Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция нечётная
4. Функция периодическая с периодом 2π
5. Максимальные значения \(y_
Минимальные значения \(y_
Нули функции \(y_<0>=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)
6. Функция возрастает на отрезках
Функция убывает на отрезках
7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(sinx=3x\)
Один корень: x = 0
б) \(sinx=2x-2\pi\)
Один корень: x = π
в) \(sinx-\sqrt
\(sinx=\sqrt
Один корень: x = π
14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса
и котангенса и их графики
14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК
График функции y = sin x (синусоида)
Свойства функции y = sin x
Объяснение и обоснование
Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:
1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями
координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее
З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох
(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.
Напомним, что значение синуса — это ордина-
та соответствующей точки единичной окружности 
(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для
любой точки единичной окружности (в силу того,
что через любую точку окружности всегда можно
провести единственную прямую, перпендикуляр-
ную оси ординат), то область определения функции
y = sin x — все действительные числа. Это можно за-
писать так: D (sin x) = R.
Для точек единичной окружности ординаты нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения
от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]
оси ординат (который является диаметром единичной
окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-
нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-
нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].
Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].
Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при 
Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение
достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть
при
поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,
напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение
y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.
На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж
ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-
ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).
функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким
образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех
x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.
Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-
щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно
исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной
2π, например на промежутке 
то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть
sin x 2 > sin x 1 ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,
делаем вывод, что она такж е возрастает на каждом из промежутков 
Если x ∈ 
(рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) ордината соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть sin x 2 1 ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая
периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой
функции (с периодом 2π), д о статочно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, на пример на
промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината
соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на
промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для
построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрич но относительно начала координат
Поскольку мы построили график на
промежутке длиной 2π, то, учитывая 
периодичность синуса (с периодом 2π),
повторяем вид графика на каждом про-
межутке длиной 2π (то есть переносим па-
раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,
где k — целое число).
Получаем график, который называется
З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в ма тематике, физике и технике. Например,
множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,
описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Та кие процессы называют гармоническими
колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль
координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией
времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная
фаза, 
14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК
Объяснение и обоснование
Напомним, что значение косинуса — это абсцис-
са соответствующей точки единичной окружности 
(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-
бой точки единичной окружности (в силу того, что
через любую точку окружности, всегда можно про-
вести единственную прямую, перпендикулярную оси
абсцисс), то область определения функции y = cos x —
все действительные числа. Это можно записать так:
D (cos x) = R.
Для точек единичной окружности абсциссы нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-
ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной
всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следователь но, область значений функции y = cos x:
y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это
зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при
x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.
Как было показано в § 13, косинус — четная функция : cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси
Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким об разом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.
соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только
тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при 
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-
тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех 
Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-
ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,
поэтому cos x 
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать
ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например
на промежутке [0; 2π].
Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) абсцисса соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть cos x 2 1 ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая
периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.
Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) аб-
сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то
есть cos x 2 >cos x 1 ), таким образом, на этом промежутке функция cos x
возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что
она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.
Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x
аналогично тому, как был построен график функ- 
ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно
также получить с помощью геометрических преоб-
разований графика функции у = sin х, используя
Эту формулу можно обосновать, например, так.
Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки 
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №4. Свойства и график функции 
.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции 
, где a≠0.
Число │a│ называется амплитудой.
Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:
1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;
2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];
3) Функция косинуса периодическая, 
;
5) Функция принимает:
;
6) Функция
Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:
Свойства функции 
:
3) Период функции равен 
;
4) Функция чётная/нечётная;
5) Функция 
принимает:
6) Функция 
Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)
Рис. 1 – графики синуса
Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.
Правило:
1) чтобы построить график функции 
, нужно сдвинуть график вдоль оси Ох на b единиц влево;
2) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.
1) Тригонометрическая функция 
определена на всей числовой прямой.
2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.
3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.
Ответ: верно, неверно, верно.
2. Вспомним, что мы уже знаем о функции 
, ответив на вопросы:
1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?
2) В каком промежутке заключены значения выражения 
. Назови наибольшее и наименьшее значения функции 
.
3) Функция синуса чётная или нечётная?
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1. Найдем все корни уравнения 
, принадлежащие отрезку 
.
Построим графики функций 
и 
(рис. 6)
Рис. 7 – графики функций 
и 
.
Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых 
являются корнями уравнения 
. На выбранном отрезке от 
корни уравнения симметричны: 
и 
. Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: 
аналогично для 
Ответ: 
; 
.
Пример 2.Найти все решения неравенства 
, принадлежащие отрезку 
.
Из рисунка 7 видно, что график функции 
лежит выше графика функции 
на промежутках 
и 
и 
Ответ: 
, 
, 