единственная цифра которую нельзя записать римскими цифрами ноль
История числа «ноль», его свойства
То, что математика является царицей наук, практически каждый из нас уяснил еще со школьных времен. Педагоги начальных классов с упоением рассказывали нам об этой науке, без которой сложно представить себе мироустройство. А тех упрямых, которые утверждали, что без математических знаний вполне можно прожить, учителя убеждали с помощью реальных примеров и интересных рассказов о цифрах. В дальнейшем мы начинали понимать, что умение оперировать цифрами может существенно облегчить взрослую жизнь, однако даже самые продвинутые ученики обычно упускали все, что связано с числом «ноль».
В школьном курсе математики ему не придавали особого значения, ведь главным было освоить простейшие правила совершения действий с ним. Однако, на самом деле, история числа «ноль» является одной из самых интересных загадок человечества. До сих пор раскрыть ее не могут ни историки, ни сами математики. Официальная версия предоставит вам сухой ответ на вопросы, «каким числом является ноль» и «когда он был изобретен». Но его настоящая история гораздо интереснее всего того, что вам могут поведать школьные и институтские учебники.
Немного о цифрах и числах
Вы когда-нибудь задумывались о том, как часто в течение дня вы сталкиваетесь с цифрами? Думаем, вы поразитесь, насколько плотно мы окружены ими в нашей повседневной жизни. Они являются буквально частью нас, поэтому сложно представить, что когда-то люди могли обходиться без математических знаний. Вы тоже так думаете? Тогда мы сможем вас удивить – человечество освоило счет еще на заре своего развития. Конечно, это еще нельзя было назвать математикой или системой счисления, похожей на современную, но все же из этих фактов становится понятным, что цифры, числа и счет сопровождают людей практически с момента осознания себя как индивидуума, имеющего некую собственность.
Однако история числа «ноль» началась еще не в те времена. Если считать, что цифрами люди в той или иной степени оперируют уже на протяжении тысячелетий, то лишь небольшой отрезок этого времени связан с числом, которое одновременно может обозначать пустоту и в разы увеличивать значение другого числа.
Ноль: понимание значения
Прежде чем рассказать, как появилось число «ноль», необходимо дать ему определение, которое раскрыло бы всю его внутреннюю парадоксальность. Некоторые математики считают данное число самым абстрактным и загадочным, приписывая ему по-настоящему мистические свойства.
Каждый ребенок в раннем детстве усваивает, что ноль – это пустота. Она имеет обозначение, но, на самом деле, не таит в себе абсолютно ничего. Но вот восточные ученые относились к ней абсолютно иначе. Практики Востока проводили параллель между пустотой, вечностью и бесконечностью. А к этим понятиям мудрецы подходили с большим уважением. Они видели в этом числе глубокий смысл и ставили его в числовом ряду на первое место.
Удивительно, но ноль, являющий собой пустоту, при расположении рядом с единицей, например, увеличивает ее в десять раз. Причем с каждым новым нулем число становится все больше. В этом и заключается парадокс числа, который не всегда под силу осознать людям. Ведь для того, чтобы появился ноль, человечеству пришлось перейти на новый уровень сознания и мышления. Не верите? Тогда давайте немного углубимся в историю.
Древние системы счисления
Как изобрели число «ноль», ученые могут только догадываться. Однако они четко представляют, какие системы счисления появились в истории человечества первыми. Специалисты утверждают, что счет как таковой возник благодаря необходимости понимать, каким запасом тех или иных вещей обладает человек. Изначально с этой целью использовались пальцы. То есть каждое число занимало свою определенную позицию в системе.
Такие модели стали называться позиционными и в дальнейшем они широко использовались разными народами. Пальцы быстро сменились ракушками, палочками, зарубками и камушками. Каждый предмет занимал свое место и подразумевал разряд или цифру. Однако нуля среди них не было, ведь для древних людей, пользующихся позиционной системой счисления, числа имели практическое значение. Они должны были обозначать реальное количество предметов или товаров, которые необходимо продать. Поэтому необходимости в числе, обозначающем пустоту попросту не было.
Римские цифры
В отличие от позиционной системы счисления римляне использовали в качестве обозначения чисел латинские буквы. Изначально для счета также брались камушки и после того, как один из них менял свою позицию, на его месте оставалось углубление. Если приглядеться, то оно очень напоминало сегодняшний нолик. Однако история числа «ноль» началась еще не в эти времена.
Римляне нашли очень удобным свой способ вести счет с помощью латинских букв, но и в этой системе древние ученые смогли обойтись без обозначения пустоты.
Греческие математики
В культуре эллинов числа имели очень большое значение. Математика серьезно влияла на развитие культуры и науки, поэтому было бы разумным, чтобы именно греки написали первую страницу истории возникновений понятий натурального числа и нуля. Однако это не так. Самим грекам ноль не был нужен. В первую очередь, они рассматривали числа под призмой геометрии, а эта наука отлично обходится без нулевого обозначения.
Примечательно, что ученые отлично понимали, что существует число, обозначающее пустоту. Однако в своих системах и сложных вычислениях они не оставляли для него места. При этом каждый из них представлял, чем число 55 отличается от 505, к примеру. Путаницы между ними не происходило, хотя свое обозначение ноль тогда еще не приобрел.
Первая символика числа «ноль»
В Вавилоне числа использовались повсеместно, однако принятая система была разработана еще шумерской цивилизацией и досталась вавилонянам в наследство. Она базировалась не на сегодняшней десятичной схеме вычислений, а на шестидесятеричной. Из-за этого расчеты древних ученых были крайне сложными и неудобные. Чтобы получить определенный результат, астрономам или математикам приходилось держать в голове массу вычислений, сделанных от единицы до шестидесяти.
Именно жители Вавилона первыми придумали присвоить нулю символ. На глиняных табличках число обозначалось изначально двумя палочками, а позже получило знак, напоминающий стрелу. При этом никаких математических действий с нулем не проводилось. Он не воспринимался как полноценная цифра, которая может повлиять на результаты арифметических расчетов.
Ноль в истории майя
Индейцы майя активно использовали в своих трудах двадцатеричную систему. Их понимание мира, религиозные верования и научные знания были очень глубоки, но во многом чужды и непонятны современным людям. Однако до сих пор ученых удивляет, насколько точными были вычисления, сделанные майя несколько тысячелетий назад.
Примечательно, что ноль они ставили в начало числового ряда и даже подарили ему название одного из дней. При этом число в их понимании не обозначало пустоту, скорее, его произношение было сходно со словом «начало». Подсознательно майя понимали, насколько глубоко понимание этого числа. Но все же они не использовали его в вычислениях. Удивительно, но ноль, играющий важное значение в календарях и других рукописных текстах, вовсе не воспринимался как самостоятельное число.
Индия – родина нуля
Большинство ученых считают, что история возникновения натурального числа и нуля обязана индийским ученым. Именно они подарили миру ту систему счислений, которой практически в неизменном виде мы пользуемся до сих пор. Считается, что математики из Индии сумели объединить в едином трактате все знания китайских ученых о десятичной системе счисления и вавилонскую позиционность. Мухаммед бен Муса в восьмом веке впервые в истории упомянул в своем трактате о нуле как о числе. В своей системе он записал его первым и доказал, что возможно совершать математические действия, используя это натуральное число.
В дальнейшем перевод трактата произвел настоящую сенсацию в Европе, хотя и попал туда только в двенадцатом веке. К этому периоду в Индии появилось еще несколько научных трудов, где более полно раскрывались значение и свойства нуля. В совместном трактате трех известных индийских математиков были даны примеры действий с числом «ноль». Появилось определение, что если из одного числа вычесть равное ему, то получится именно тот самый пресловутый ноль. Таким образом он сумел занять свое достойное место в числовом ряду и в дальнейшем начал активно использоваться при различных вычислениях.
В этот же период определился и символ загадочного числа. Изначально его обозначали точечкой, чуть позже она трансформировалась в аккуратный кружок. Индийцы определили, что с помощью десяти цифр можно записать практически любое число и сделали эти знания достоянием просвещённых людей всего мира.
Можно сказать, что таким образом в математике произошла революция.
Кто подарил нам слово «цифра»?
Быть может, вы не знаете, но именно нулю математика обязана появлением слова «цифра». Дело в том, что сами индийцы называли это число словом «сунья». В переводе оно обозначало «пустой» и как нельзя лучше характеризовало число «ноль». Однако арабы, которые позаимствовали у индийцев их систему счисления, по-своему перевели данное слово. На их языке оно стало звучать как «сыфр», что в дальнейшем трансформировалось в привычное нашему уху слово «цифра». С этого периода оно закрепилось и стало довольно широко использоваться.
Свойства числа «ноль»
Каждый школьник знает, что при сложении или вычитании нуля в результате получается исходное число. А вот если провести умножение, то произведение будет всегда равно нулю.
То, что делить на ноль нельзя, тоже известно со школьной скамьи. Однако многие математики рассматривают это действие отчасти как философский вопрос и строят вокруг него сложные теории.
Большое значение приобрело в математике появление отрицательных чисел. И у нуля на этой шкале особенное место. Это число является уникальным, так как оно не может быть ни положительным, ни отрицательным.
Применение числа в других областях знаний
С течением времени ноль приобретал все большее значение в науке. Постепенно он перешел и в другие сферы деятельности.
К примеру, сегодня всем известно, что долгота отсчитывается именно с нулевого меридиана. А на шкале Цельсия ноль разграничивает положительные и отрицательные температуры, являясь точкой замерзания воды.
Компьютерная кодировка также основана на применение нуля и единицы. На этом сочетании базируются все представления о программировании в мире. Без нуля данная система не смогла бы работать.
Интересные факты о ноле
Если вам кажется, что ноль – это скучно и неинтересно, то прочитайте нашу подборку интересных фактов об этом числе, и вы однозначно измените о нем свое мнение.
Немногим известно, что нулю был поставлен памятник в Венгрии. На сегодняшний день он является единственным числом, удостоившимся такой чести.
А вот жители Москвы имеют возможность загадывать желание на нулевом километре, обозначающим начало всех дорог в стране.
Единственная цифра, которую при всем желании невозможно записать римскими цифрами, – это ноль.
В истории человечества так и не появился нулевой год, его просто не существует как начальной точки отсчета.
Из всего написанного выше становится понятно, что ноль – это очень важная часть нашего современного мира. А изучение истории числа «ноль» может преподнести математикам еще немало сюрпризов, о которых сегодня пока еще рано говорить.
Очень важное «ничто»
Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия
Дата публикации: 12.04.2019 2019-04-12
Статья просмотрена: 128 раз
Библиографическое описание:
Андрейко, Д. В. Очень важное «ничто» / Д. В. Андрейко, Н. М. Кучер. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2019. — № 5 (25). — С. 26-29. — URL: https://moluch.ru/young/archive/25/1519/ (дата обращения: 24.10.2021).
Задумайтесь о том, как часто в течение дня мы сталкиваемся с цифрами, числами, совершаем математические операции? Мы звоним друзьям, набирая номер телефона. Мы едем в гости в дом, который имеет номер. Мы садимся в автобус определенного номера. Просто поразительно, насколько плотно мы окружены цифрами и числами в нашей повседневной жизни. Практически всё имеет номер, обозначенный цифрами: телефон, дом, машина. Без них мы не знали бы сколько нам лет, в каком году мы живём. Числа являются буквально частью нас, поэтому сложно представить, что когда-то люди могли обходиться без математических знаний. Ведь сегодня все современные технологии связаны с цифрами (и называются цифровыми). Вся информация хранится в цифровом формате. Наши знания в школе тоже оценивают с помощью цифр.
Но у каждого названия, предмета и величины есть своя история, своё начало. Например, если мы едем по шоссе, то по пути нам встречаются километровые столбы с отметками: 10 км., 20 км. и так далее. Это указатели расстояния от главпочтамта того города, из которого мы выехали. Потому что главпочтамт в городе считается началом пути, его нулевой отметкой. А начало всех времен… Где оно? Это ноль? И возникает вопрос, как возникли цифры, счёт, и действительно ли всё начиналось с НУЛЯ?
Я решила выяснить: на сколько хорошо люди знакомы с историей нуля? Проведя небольшой социологический опрос, я пришла к выводу, что люди действительно редко задумываются и мало знают об истории счёта в целом, и об истории числа НОЛЬ в частности. Даже, изучающие Высшую математику, плохо знакомы с данным аспектом истории «Царицы наук». Верно ответили на вопросы только 11 % (рис. 1). Но 83 % опрошенных хотели бы больше узнать об истории числа ноль (Рис. 2).
Рис.1. Результаты социологического опроса для оценки степени осведомленности об истории числа ноль
Рис. 2. Результаты социологического опроса для оценки количества желающих узнать об истории числа ноль
Поэтому я решила собрать и изучить информацию об истории возникновения счёта и конкретно о возникновении числа ноль. Оказалось, что это загадочное число, которое одновременно может обозначать и пустоту и в разы увеличивать значение другого числа. Но, несмотря на то, что человечество освоило счет еще на заре своего развития, цифры ноль в те времена просто не знали. Математика прошла путь от простейшего подсчета предметов до решения сложнейших теорем. Но при этом лишь небольшой отрезок этого времени связан с нулём [1].
И хоть потребность в подсчёте стала очевидной для человека с самого начала формирования первобытного общества, наши предки рассуждали логично: зачем изобретать и использовать число, которое обозначает «ничего», пустое место? Так как же обходились люди без нуля?
В доисторические времена вести счёт помогали пальцы рук и ног. Деление чисел на пятерки и десятки, происхождение десятичной системы счисления связано именно с этим. В дальнейшем для облегчения этих операций в ход шли зарубки на дереве и костях животных, засечки на камнях, камешки, ракушки и другие мелкие предметы. Свои числовые системы были во всех обособленных центрах цивилизации: в Египте и Древнем Вавилоне, в Китае и Индии, у южноамериканских индейцев и в античной Греции. Но большинство систем счёта древности были непозиционными, то есть значение цифры не зависело от ее места в записи числа [2].
Например, в Древнем Риме ноль был не востребован — даже для обозначения десятков и сотен. Для каждого нового разряда существовал новый знак, а любое число записывалось как сумма знаков. Однако, в такой системе, чем больше было число — тем оно было более громоздким, и тем больше времени нужно было потратить хотя бы на то, чтобы прочитать его, а не то, что совершать с ним математические операции. Например, на постаменте Медного всадника в Санкт-Петербурге указан год открытия памятника как раз в римской системе счисления — MDCCLXXXII, что соответствует числу 1782. Понять такую запись довольно сложно, хотя в этом числе присутствуют всего лишь четыре разряда. Ну, а делать расчеты в такой системе счисления и вовсе практически невозможно [2].
В древнем Вавилоне система счета была построена на числе 60. Но математические расчеты, которыми пользовались древневавилонские инженеры и астрономы, выглядели достаточно громоздкими и неудобными. Чтобы успешно оперировать числами, необходимо было помнить наизусть или иметь перед глазами результаты умножения всех чисел от 1 до 60. Но, вавилоняне, не зная о нуле, вполне отличали число 202 от числа 22. Интуитивно они понимали, что значит ноль. В пустующую ячейку записывались либо три «крючка», либо два «клинышка», обозначавшие пустоту. Этот символ был составной частью числа и не участвовал в арифметических действиях — складывать или умножать на него было нельзя [1].
Свой ноль ввели в обиход и индейцы Центральной Америки — майя и инки. В культуре Майя ноль существовал вполне реальный — в виде пустой раковины. В империи инков система счёта представляла собой верёвочные сплетения и узелки, в которых и содержалась вся информация. Цифры от 1 до 9 обозначались разными узелками, а ноль обозначался пустым местом.
В представлении древнегреческих математиков числа были отрезками, имеющие начало, конец и определенную длину. Поэтому число ноль в этом случае не имело никакой практической ценности. Ведь отрезок с нулевой длиной не имел смысла.
Система десятичных разрядов существовала и в Китае. Но цифры они записывали с помощью палочек. Например, чтобы записать число 934 в столбик единиц клали 4 палочки, десятков — 3, а сотен — 9 палочек. Вместо нуля они оставляли пустое место. А вот записывая цифры, китайцы разряды не использовали, и символа для нуля не было.
Но все, что было до индийцев, носило только прикладной характер и никак не могло быть принято за настоящую историю изобретения нуля. Это было всего лишь обозначение пустого места [1].
И только индийские математики сформулировали, что если из одного числа вычесть его же, то получится ноль. Это и есть знакомое нам определения числа ноль. Они записали ноль поначалу точкой, обозначая отсутствующее число, потом и кружочком и определили ноль не как понятие отсутствия числа, а как число. И произошло это уже в V веке.
Теперь ноль стал использоваться в расчетах и это дало возможность не вводить новые знаки для записи больших чисел. Появилась элегантная система записи любого числа с использованием всего десяти цифр. Это была революция в математике. Прибавление нуля, умножение на ноль — всё это обрело значение осмысленных математических операций.
Но прежде чем ноль попал на Запад, он проделал долгий путь. В 712 году арабы захватили часть Индии и там они познакомились с принятой индийцами системой счисления, переняли ее; с тех пор стали говорить (и говорят до сих пор) об «арабских цифрах».
Купцы-мусульмане, посещая Китай, познакомили местных жителей с цифрой ноль. К тому времени она носила уже новое название. Слово «шунья» (пустое) было переведено на арабский и стало звучать как «сифр» от которого происходит наше слово «цифра». И долгое время символ, обозначающий ноль, назывался словом «цифра». Позже, в XVI веке, цифрами стали называть все символы арабской системы счисления. А ноль получил свое персональное название, которое произошло от греческого слова «nullus» — никакой [2,4].
Первым из математиков, сформулировавшим законченную числовую систему, которая остается до сих пор в неизменном виде и служит большей части человечества, был Хорезми Мухаммед бен Муса (787–850), живший в Багдаде. В его «Книге об индийском счете» подробно описаны девять арабских цифр и дан совет ставить в расчетах пустой кружок на то место, где должно помещаться «ничто». Латинский перевод этого труда, стал широко известен в Европе в XII веке и положил начало распространению восточных математических знаний.
Одним из главных европейских пропагандистов арабской цифровой системы стал знаменитый итальянский математик Леонардо Фибоначчи. Его труд «Книга абака» (1202 год) познакомил европейских ученых с символами и правилами, с помощью которых арабы записывают математические операции. Но его пропаганда столь удобного способа записи и счёта не возымела особого действия на учёные средневековые лбы. И даже в XVI веке математики продолжали всячески избегать нуля, придерживаясь античной системы и полагаясь на счётные доски. Окончательно же десять знаков, включая ноль, утвердились в европейской науке лишь к началу XVIII века, сменив принятую европейскими математиками античную систему.
В Россию новая цифра перекочевала благодаря стараниям Леонтия Магницкого, автора знаменитого учебника «Арифметика, сиречь наука числительная» (1703 год). Но латинские переводы арабских трактатов называли ноль «circulus» («круглый»). Такая форма нуля отобразилось впоследствии в нашей речи: мы говорим «округлить», когда хотим отбросить единицы и оставить в числе только крупные разряды [3].
А вот выражение «ноль без палочки» (ничего не стоящий человек) появилась потому, что раньше внутри цифры ноль было принято писать черточку, которая позволяла отличить ее от буквы «О». Поскольку без нее знак становился то ли цифрой, то ли буквой, родилось и выражение.
И сегодня невозможно представить математику без этого удивительного числа. К тому же ноль обладает уникальными математическими свойствами, которых нет ни у какого другого числа.
− Деление на ноль невозможно в пространстве всех чисел.
− Исключением является выражение 0:0, приводящее к неопределенности или бесконечности .
Кроме того, единственная цифра, которую при всем желании невозможно записать римскими цифрами, — это ноль.
Но, несмотря на всю важность нуля, в истории человечества так и не появился нулевой год, его просто не существует как начальной точки отсчета. Ну а в полночь на электронных часах появляются четыре НУЛЯ. Начинается новый день! [5]
Из всего написанного выше становится понятно, что ноль — это очень важная часть нашего современного мира. Без нуля — не было бы ни компьютеров, ни телевидения, ни мобильной связи… никаких цифровых технологий! Да что там говорить, мы бы не смогли перемножить два двузначных числа. Ноль — это великое изобретение человечества. Только вот никто не хочет иметь нулевые знания. Поэтому изучение его истории может помочь нам полюбить математику с самого нуля.
1. Лука Новелли. История цифр, рассказанная Нулем. Изд-во: Питер. 2017
2. Чарльз Сейфе. Ноль: биография опасной идеи. Москва. Изд-во: АСТ. 2014.
Интересные и удивительные факты о числах и цифрах
Народная молва упорно приписывает некоторым цифрам и числам особый и даже мистический смысл. Ученые-математики тоже даром времени не теряли и открыли ряд интересных свойств цифр и чисел. Рассмотрим некоторые из них.
Угадывание чисел
Игры с угадыванием чисел или даты рождения – очень полезное развлечение, отлично развивающее навыки быстрого умственного счёта. Суть заключается в том, что желающий загадывает число. Затем производит по указанию ведущего различные математические действия над ним и говорит полученный результат. Ведущий с помощью нехитрой уловки мгновенно называет загаданное число. Таких задач существует невероятно много. Рассмотрим одну из них. Задание для участника: задумайте число. Умножьте его на три. Поделите пополам (если число не делится нацело на два, прибавьте к нему единицу и поделите пополам). Полученную половину утройте. Скажите, сколько раз содержится 9 в полученном числе.
Чтобы угадать задуманное число, ведущему достаточно умножить количество девяток на два. Если же при делении участнику пришлось добавлять единицу, то количество девяток нужно умножить на два и также прибавить единицу.
Один из способов мгновенного возведения в квадрат
Этот приём подходит для двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5: количество десятков в числе умножаем на следующее за ним целое число и дописываем к произведению 25.
Занятное свойство числа 37
Если число 37 умножать на 3 или числа, кратные 3 (до 27 включительно), то получается результат, в записи которого несколько раз повторяется одна единственная цифра.
Как легко возвести в квадрат числа 11, 111, 1111
Квадраты чисел 11, 111, 1111 и т.д. легко запомнить:
Как изобразить число 100 пятью одинаковыми цифрами
Как изобразить число при помощи первых 9 натуральных чисел
О числе 1089
Для того, чтобы умножить число 1089 на 9, достаточно записать его в обратном порядке:
Теми же свойствами обладают числа 10989, 109989, 1099989 и т.д.
О числах 125, 250, 375
Чтобы разделить указанные числа на 5 достаточно зачеркнуть первую цифру:
Интересные свойства числа 36
Произведение цифр числа 36 равно половине самого числа, а сумма цифр – четверти.
О числе 666
Чтобы увеличить число 666 ровно на половину, достаточно перевернуть его вверх ногами.
О числе π
Буквой π принято обозначать постоянную величину, равную отношению длины окружности к её диаметру. Первым учёным, исследовавшим это число, был Архимед. По подсчётам учёного отношение длины окружности к её диаметру выражалось дробью 22/7. Современная вычислительная техника позволяет рассчитать число π с точностью до миллиардов знаков после запятой. На самом деле число представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. В школьном курсе математики для упрощения расчетов число π традиционно принимают равным 3,14.
Золотое сечение
В математике золотое сечение отрезка на две части заключается в том, что весь отрезок так относится к большей части, как большая часть к меньшей. В алгебраических символах этот принцип можно выразить с помощью несложной пропорции. Принцип золотого сечения имеет широкое распространение в природе. За конкретным примером ходить далеко не надо, ведь красиво сложенное человеческое тело как раз и соответствует этой известной пропорции. Исследования, которые велись в искусстве и архитектуре, показали, что золотое сечение – самое приятное для глаза отношение частей какого-либо произведения искусства.