Как можно разложить 2sin 2x

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Формулы произведения тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка

Источник

Как можно разложить 2sin 2x

Формулы двойного аргумента (двойного угла)

Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).

Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.

Представим это выражение в виде sin (x + x).

Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:

sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:

cos 2x = 1 – 2 sin 2 x

В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.

Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:

cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos 2 x – sin 2 x.

3) cos 2x = 1 – 2 sin 2 x.

Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos 2 x + sin 2 x = 1.
Из этого тождества следует, что cos 2 x = 1 – sin 2 x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos 2 x, сведем подобные члены и получим результат:

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – sin 2 x – sin 2 x = 1 – 2sin 2 x.

Способов, как прийти к такому тождеству, два.

tg х + tg х 2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
1 – tg х tg х 1 – tg 2 х

Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.

sin 2α 2 sin α cos α
——— = —————— = 2 cos α
sin α sin α

В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.

1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg 2 α = ———.
sin 2 α

Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:

1 1 4
ctg α = —— = —— = ——
tg α 3/4 3

2) Теперь находим значение синуса:

1 1 1 1 9
sin 2 α = ————— = ————— = ———— = —— = ——
1 + ctg 2 α 1 + (4/3) 2 1 + 16/9 25/9 25

3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos 2 α + sin 2 α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:

9 16
cos 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – —— = ——
25 25

4) Осталось применить формулу двойного угла:

3 4 2 · 3 · 4 24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = —— = 0,96.
5 5 5 · 5 25

Пример 3 : Вычислить

π π
cos 2 — – sin 2 —
8 8

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos 2 x – sin 2 x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что

Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:

Источник

Точные и быстрые вычисления для чисел с плавающей точкой на примере функции синуса. Введение и часть 1

Внимательно прочитал очень хорошие статьи от ArtemKaravaev по сложению чисел с плавающей точкой. Тема очень интересная и хочется её продолжить и показать на примерах, как работать с числами с плавающей точкой на практике. В качестве эталона возьмём библиотеку GNU glibc (libm). А чтобы статья не была уж скучной, добавим соревновательную составляющую: попробуем не только повторить, но и улучшить код библиотеки, сделав его более быстрым/точным.

В качестве примера я выбрал тригонометрическую функцию синуса. Это широко распространённая функция, математика которой хорошо известна со школы и университета. В тоже время при её имплементации появятся много ярких примеров «правильной» работы с числами. В качестве числа с плавающей точкой я буду использовать double.

В данном цикле статей планируется много всего начиная от математики, заканчивая машинными кодами и опциями компилятора. Язык написания статьи С++, но без «излишеств». В отличии от языка С, работающие примеры будут более удобочитаемыми даже для людей не знакомых с этим языком и занимать меньше строк.

Статьи будут написаны методом погружения. Будут обсуждаться подзадачи, которые потом соберутся вместе в единое решение проблемы.

Разложение синуса в ряд Тейлора.

Функция синуса раскладывается в бесконечный ряд Тейлора.

Понятно, что бесконечный ряд мы посчитать не можем, кроме случаев, когда есть аналитическая формула бесконечной суммы. Но это не наш случай))) Предположим, что мы хотим посчитать синус в интервале . Более подробно работу с интервалами обсудим в части 3. Зная, что оценим найдём первый член который можно отбросить исходя из условия, что , где это разница между числом 1 и наименьшем числом, которое больше 1. Грубо говоря это последний бит мантиссы (wiki). Решить данное уравнение проще перебором. Для . У меня получилось уже можно отбросить. Правильный выбор количества слагаемых будет обсужден в одной из следующей частей, поэтому на сегодня «перестрахуемся» и возьмём слагаемые до включительно.
Последнее слагаемое приблизительно в 10000 раз меньше, чем .

Простейшее решение

Руки уже чешутся, пишем:

Как ускорить программу я думаю, что многие сообразили сразу. Как вы думаете, во сколько раз ваши изменения могут ускорить программу? Оптимизированная версия и ответ на вопрос под спойлером.

Улучшение точности

Методика

Точность вычисления функции будем определять 2-мя стандартными параметрами.

Среднеквадратичное отклонение от истинного значения sin(float128) и среднее данного отклонения. Последний параметр может дать важную информацию о том, как ведёт себя наша функция. Она может систематически занижать или завышать результат.

В дополнение к данным параметрам ввёдём еще два. Вместе с нашей функции мы вызываем ещё встроенную в библиотеку функцию sin(double). Если результаты двух функций: нашей и встроенной не совпадают (побитово), то добавляем в статистику, какая из двух функций дальше от истинного значения.

Порядок суммирования

Вернёмся снова к исходному примеру. Как можно увеличить его точность «по-быстренькому»? Те, кто внимательно читал статью Можно ли сложить N чисел типа double наиболее точно? скорее всего дадут ответ сразу. Надо крутить цикл в обратную сторону. Чтобы складывать от наименьших по-модулю, к наибольшим.

Результаты приведены в табличке.

Может показаться, что использование алгоритмов «умного» суммирования уберёт ошибку практически до 0, но это не так. Конечно эти алгоритмы дадут увеличение точности, но для полного избавления от ошибок требуются ещё и алгоритмы умного умножения. Они существуют, но очень накладны: очень много лишних операций. Применение их здесь не оправдано. Впрочем позднее мы к ним вернёмся в другом контексте.

Осталось совсем немного. Объединить быстрый и точный алгоритмы. Для этого снова вернёмся к ряду Тейлора. Ограничим его для примера 4-мя членами и сделаем следующее преобразование.

Можно раскрыть скобки и проверить, что получится исходное выражение. Такое представление очень просто ложится на цикл.

Работает быстро, но потеряли точность, по сравнению с e3. Опять же проблема в округлении. Давайте рассмотрим последний шаг цикла и немного преобразуем исходное выражение

И соответствующий код.

Точность в сравнении с libm увеличилась в 2 раза. Если догадываетесь почему точность увеличилась, пишите в комментариях. К тому же есть ещё одна, гораздо более неприятная вещь у sin_e4, которая отсутствует у sin_e5, связанная с точностью. Попробуйте догадаться в чём проблема. В следующей части я обязательно о ней расскажу подробно.

Если статья Вам понравится, то в следующей я расскажу, как в GNU libc считается синус с максимальным ULP в 0.548.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Источник